[论文解读] Exact holographic mapping and emergent space-time geometry

Xiao-Liang Qi|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 6被引用 104

一句话总结

本文提出了精确全息映射（EHM），这是一种从d维边界量子系统到(d+1)维体统的幺正变换，其中体统几何结构由两点关联函数所决定。对于(1+1)维无相互作用费米子系统，EHM再现了AdS/CFT理论的关键特征，包括有限温度下的类黑洞几何结构以及纠缠自旋链中的虫洞动力学，实现了非微扰、精确的全息对偶，其中时空几何从量子纠缠中涌现。

ABSTRACT

In this paper, we propose an {\it exact holographic mapping} which is a unitary mapping from the Hilbert space of a lattice system in flat space (boundary) to that of another lattice system in one higher dimension (bulk). By defining the distance in the bulk system from two-point correlation functions, we obtain an emergent bulk space-time geometry that is determined by the boundary state and the mapping. As a specific example, we study the exact holographic mapping for $(1+1)$-dimensional lattice Dirac fermions and explore the emergent bulk geometry corresponding to different boundary states including massless and massive states at zero temperature, and the massless system at finite temperature. We also study two entangled one-dimensional chains and show that the corresponding bulk geometry consists of two asymptotic regions connected by a worm-hole. The quantum quench of the coupled chains is mapped to dynamics of the worm-hole. In the end we discuss the general procedure of applying this approach to interacting systems, and other open questions.

研究动机与目标

• 开发一种从d维边界量子系统到(d+1)维体统的幺正、精确全息映射，避免标准AdS/CFT理论中的近似处理。
• 从边界态的两点关联函数中定义体统中的几何结构，使时空几何能从量子纠缠中涌现。
• 证明EHM框架能在非微扰、精确的量子框架内再现已知的全息现象，如黑洞几何和虫洞动力学。
• 探索重整化群流和因果结构在涌现体统中的作用，并提出一种不依赖固定背景的自洽方法来确定体统几何。

提出的方法

• 定义一个幺正变换的张量网络，将两个边界位点映射为一个体统自由度（短程纠缠）和一个辅助自由度（长程纠缠），形成分层结构。
• 利用体统位点之间的两点关联函数C(x,y)定义测地线距离d(x,y) = -ξ log C(x,y)，其中ξ为尺度参数。
• 通过递归应用幺正变换构造体统哈密顿量，整个映射为逐层幺正变换的乘积，形成树状网络结构。
• 将EHM应用于(1+1)维无相互作用费米子在零温与有限温度下的情形，以及两组纠缠链，以计算涌现的体统几何。
• 引入自洽条件d(x,y) = d_g(x,y)，其中d_g为网络上的图距离，以在不预先假设背景的前提下确定几何结构。
• 利用EHM的因果锥结构，实现从简单体统态高效计算边界性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从d维量子系统到(d+1)维系统的幺正映射生成一个再现已知全息特征的几何体统？
• RQ2 在无经典背景的情况下，体统几何如何从两点关联函数中涌现？
• RQ3 EHM框架能否再现有限温度下的AdS黑洞几何及其相关的近视界结构？
• RQ4 两组1+1维纠缠链中的量子淬火，其体统描述为何种几何？是否对应于动力学虫洞？
• RQ5 能否仅从网络结构自洽地确定体统几何，而无需预先假设几何形式？

主要发现

• 对于零温下的无质量(1+1)维狄拉克费米子，涌现的体统几何在渐近区域为AdS几何，与AdS/CFT对偶的预期一致。
• 在零质量有限温度下，体统几何表现出类似黑洞近视界区域的红外区域，其视界结构由关联函数自然涌现。
• 对于零温下的有质量费米子，涌现的体统几何偏离纯AdS几何，呈现出反映规范对称性破缺的能隙结构。
• 当两组1+1维链初始处于纠缠态时，EHM将该态映射为具有两个渐近AdS区域并通过虫洞连接的体统几何，与ER=EPR猜想一致。
• 在量子淬火导致两链解耦后，虫洞几何动态地收缩与拉伸，其振荡行为源于无相互作用费米子的特性及无穷多守恒荷。
• 自洽条件d(x,y) = d_g(x,y)提供了一种从网络结构确定体统几何的方法，表明该方法具有背景无关性，是涌现几何的自洽实现。