[论文解读] Exact Models for Symmetry-Protected Topological Phases in One Dimension

Scott Geraedts, Olexei I. Motrunich|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2014

Topological Materials and Phenomena被引用 4

一句话总结

本文提出了一种一维精确可解模型，用于描述 $Χ_{N}\timesΧ_{N}$ 对称性保护的拓扑（SPT）相，通过将一个 $Χ_{N}$ 对称性的畴壁与另一个 $Χ_{N}$ 对称性的电荷绑定，并使束缚态发生凝聚以实现拓扑序。该模型实现了 $N$ 种不同的 SPT 相，当对称性部分破缺为 $Χ_{r}\timesΧ_{r}$（其中 $r = N/d$）时，还实现了 $r$ 种额外的拓扑相，所有相在微扰下均稳定。

ABSTRACT

We present an exactly solvable model for one-dimensional symmetry-protected topological phases with $\mathbb{Z}_N imes\mathbb{Z}_N$ symmetry. The model works by binding point topological defects (domain walls) of one symmetry to charges of the other and condensing these bound states. Binding single topological defects to charges leads to symmetry-protected topological phases, while binding multiple topological defects to charges leads to phases with a combination of symmetry-breaking and topological properties.

研究动机与目标

• 构建一个一维对称性保护拓扑（SPT）相的精确可解模型，其对称性为 $Χ_{N}\timesΧ_{N}$。
• 将先前针对 $Χ_{2}\timesΧ_{2}$ SPT 相的工作推广至一般 $N$，并扩展至同时包含对称性破缺与拓扑的相。
• 证明将畴壁与电荷绑定可实现拓扑序，并表明部分对称性破缺可导致多种拓扑相。
• 展示该模型可实现所有 $N$ 种可能的 $Χ_{N}\timesΧ_{N}$ 对称性下的 SPT 相，且当对称性降低为 $Χ_{r}\timesΧ_{r}$ 时，可实现 $r$ 种相。
• 建立这些相在微扰下的稳定性，并提供研究其相变的框架。

提出的方法

• 模型在交替的奇数和偶数格点上使用两种 $Χ_{N}$ 变量，哈密顿量项涉及满足 $XZ = \omega ZX$ 的 $Z$ 和 $X$ 算符，其中 $\omega = e^{i2\pi/N}$。
• 哈密顿量构造为 $H = H_{\text{odd}} + H_{\text{even}}$，其中每一项通过 $Z^\dagger$ 和 $Z$ 将相邻位点上的畴壁与通过 $X^d$ 关联的电荷绑定。
• 通过在 $Z$-基中求解本征值问题找到基态，波函数振幅约束由相互对易的哈密顿量项导出。
• 当 $d$ 整除 $N$ 时，由于自发对称性破缺，基态简并度为 $\tilde{d}^2 = (N/d)^2$，其中 $\tilde{d} = N/d$。
• 对于开放边界条件，额外的简并度 $(r/\tilde{c}')^2$ 来自边缘态，其中 $\tilde{c}' = \gcd(c,r)$，且 $r = N/d$。
• 当 $c$ 与 $d$ 不互质时，引入微扰 $\delta H' = -J\sum_i [(Z_{i-1}^\dagger Z_{i+1})^r + h.c.]$ 以消除宏观简并度，而不改变拓扑结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为一般 $N$ 的一维 $Χ_{N}\timesΧ_{N}$ 对称性 SPT 相构造一个精确可解模型？
• RQ2 在一维中，将畴壁与电荷绑定如何实现拓扑序？对称性分数子化在此过程中起什么作用？
• RQ3 当 $N$ 为合数时，拓扑相的数量与对称性破缺模式之间有何关系？
• RQ4 基态简并度如何产生？其起源是拓扑序还是自发对称性破缺？
• RQ5 这些拓扑相在局域微扰下是否稳定？能否通过自旋序参数或纠缠谱进行诊断？

主要发现

• 该模型实现了 $N$ 种不同的 $Χ_{N}\timesΧ_{N}$ 对称性下的拓扑相，对应于耦合参数 $c$ 的不同取值。
• 当对称性部分破缺为 $Χ_{r}\timesΧ_{r}$（其中 $r = N/d$）时，模型实现了 $r$ 种不同的拓扑相，所有相均可通过选择不同的 $c$ 实现。
• 基态简并度为 $\tilde{d}^2 = (N/d)^2$，源于自发对称性破缺，且该简并度在局域微扰下具有鲁棒性。
• 对于开放链，总简并度包含额外的 $(r/\gcd(c,r))^2$ 因子，源于边缘模式，表明存在以保护性边缘态形式存在的拓扑序。
• 该模型在如 $X_i$ 或 $Z_{i-1}^\dagger Z_{i+1}$ 等局域微扰下保持稳定，经 DMRG 和无符号蒙特卡罗模拟验证。
• 当 $c$ 与 $d$ 不互质时引入微扰 $\delta H'$，以消除宏观简并度，而不改变拓扑分类，从而确保相的明确定义。