[论文解读] Exact out-of-equilibrium steady states in the semiclassical limit of the interacting Bose gas

Giuseppe Del Vecchio Del Vecchio, Alvise Bastianello+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2020

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 123被引用 1

一句话总结

本文提出了一套精确的解析框架，用于在非线性薛定谔方程（NLS）的经典极限下，计算一维相互作用玻色气体的末时稳态。通过利用量子Lieb-Liniger模型的半经典极限并应用逆散射方法，作者推导出广义吉布斯系综（GGE）和密度算符的完整计数统计的精确表达式，并通过从头算数值模拟进行了验证，从而在该参数范围内精确求解了经典淬火问题。

ABSTRACT

We study the out-of-equilibrium properties of a classical integrable non-relativistic theory, with a time evolution initially prepared with a finite energy density in the thermodynamic limit. The theory considered here is the Non-Linear Schrodinger equation which describes the dynamics of the one-dimensional interacting Bose gas in the regime of high occupation numbers. The main emphasis is on the determination of the late-time Generalised Gibbs Ensemble (GGE), which can be efficiently semi-numerically computed on arbitrary initial states, completely solving the famous quench problem in the classical regime. We take advantage of known results in the quantum model and the semiclassical limit to achieve new exact results for the momenta of the density operator on arbitrary GGEs, which we successfully compare with ab-initio numerical simulations. Furthermore, we determine the whole probability distribution of the density operator (full counting statistics), whose exact expression is still out of reach in the quantum model.

研究动机与目标

• 表征在相互作用玻色气体的半经典极限下，经典可积场论在量子淬火后末时稳态的性质。
• 通过半经典极限，将量子Lieb-Liniger模型的精确结果推广至经典非线性薛定谔（NLS）方程。
• 为经典区域中任意初态提供一种完整且半数值的GGE计算方法。
• 推导密度算符的完整计数统计（FCS），该量在完整量子模型中仍难以处理。
• 通过与时间演化过程的从头算数值模拟对比，验证分析预测，确立该方法的有效性。

提出的方法

• 利用量子Lieb-Liniger模型的半经典极限，将其映射为一维相互作用玻色气体的经典非线性薛定谔（NLS）方程。
• 应用逆散射方法精确求解经典NLS方程，从而构造出全部守恒荷及其对应的GGE。
• 利用单体矩阵和转移矩阵形式，推导出NLS方程根密度的精确解析表达式，以场构型表示。
• 从根密度构造广义吉布斯系综（GGE），从而实现密度算符精确一阶矩的计算。
• 利用精确根密度及其关联生成函数，推导出密度算符的完整计数统计（FCS）。
• 采用哈密顿分裂谱方法实现时间演化，保持粒子数守恒，并实现对分析预测的高精度数值验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能够为经典非线性薛定谔方程在淬火后推导出精确的末时稳态，即使对于任意初态？
• RQ2 量子Lieb-Liniger模型的半经典极限如何使NLS方程在根密度和GGE方面实现精确结果？
• RQ3 在经典区域中，密度算符的完整计数统计（FCS）的确切形式是什么？与量子结果相比有何差异？
• RQ4 分析GGE对密度算符矩和分布的预测，在多大程度上可通过直接数值时间演化得到验证？
• RQ5 NLS方程的根密度如何依赖于初始场构型，特别是对于自由热态？

主要发现

• 对于均匀初态场构型，根密度被解析推导为半圆分布：ρ(λ) = 1/(2π)√(4|φ|² − λ²)，与数值模拟结果高度一致。
• 在经典NLS模型中，密度算符的完整计数统计（FCS）对任意GGE均以闭合形式推导得出，这是目前完整量子模型尚无法实现的结果。
• 从GGE推导出的密度算符一阶与二阶矩的分析预测，经与时间演化过程的从头算数值模拟对比，得到定量验证。
• 对于自由热初态，大快速度区域的根密度按ρ(λ) ∼ 1/(βλ²) 衰减，与预期的经典行为及半经典极限一致。
• 通过哈密顿分裂法实现的时间演化数值实现精确保持粒子数，支持高精度提取根密度，从而实现与分析结果的可靠比较。
• 该方法成功求解了NLS模型中的经典淬火问题，为从任意初态出发计算末时稳态提供了完整且精确的框架。