[论文解读] Exact Pricing and Hedging Formulas of Long Dated Variance Swaps under a $3/2$ Volatility Model

Leunglung Chan, Eckhard Platen|RePEc: Research Papers in Economics|Jul 18, 2010

Stochastic processes and financial applications被引用 6

一句话总结

本文在 $3/2$ 随机波动率模型下，利用基准方法推导了长期方差互换的精确解析定价与对冲公式，避免了对等价风险中性测度的需求。关键贡献在于通过合流超几何函数与平方 Bessel 过程，给出了显式闭式解，即使在不存在风险中性测度时也能实现最小定价。

ABSTRACT

This paper investigates the pricing and hedging of variance swaps under a $3/2$ volatility model. Explicit pricing and hedging formulas of variance swaps are obtained under the benchmark approach, which only requires the existence of the numéraire portfolio. The growth optimal portfolio is the numéraire portfolio and used as numéraire together with the real world probability measure as pricing measure. This pricing concept provides minimal prices for variance swaps even when an equivalent risk neutral probability measure does not exist.

研究动机与目标

• 在 $3/2$ 波动率模型下，构建一个稳健的定价与对冲框架，该模型通常缺乏等价风险中性测度。
• 将基于最优增长投资组合作为计价单位的基准方法扩展至方差互换估值，确保在无需风险中性测度的情况下实现最小价格。
• 在真实世界 $3/2$ 模型下，推导方差互换价格及其 Vega 敏感度的显式解析公式。
• 通过经验参数估计与期限依赖的互换利率，展示模型的校准与数值表现。

提出的方法

• 采用基准方法，以最优增长投资组合作为计价单位，并使用真实世界概率测度进行定价，避免了对等价鞅测度的需求。
• 波动率过程的动态遵循 $3/2$ 模型，其中瞬时方差服从具有时变参数的平方 Bessel 过程。
• 通过计算集成倒方差的期望值，推导出方差互换的定价公式，表达形式涉及合流超几何函数与无穷级数展开。
• 解的推导涉及将期望值转化为包含修正贝塞尔函数与广义超几何函数 $_2F_2$ 的形式。
• 通过链式法则与超几何级数的导数，对波动率参数 $y$ 求导，计算方差互换的 Vega。
• 利用校准后的参数（$b = \eta$，$a_1 = b$，$\gamma = 0.0137$）生成数值结果，并在不同期限下对比基准方法与风险中性方法的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当不存在等价风险中性测度时，能否在 $3/2$ 波动率模型下推导出方差互换的精确解析定价公式？
• RQ2 在 $3/2$ 模型下，基准方法与传统的风险中性方法在方差互换定价中的表现如何比较？
• RQ3 在真实世界 $3/2$ 模型下，方差互换价格及其 Vega 的解析结构是什么？
• RQ4 定价结果在不同期限与参数取值下的表现如何？

主要发现

• 即使在不存在等价风险中性测度的情况下，基准方法仍能为 $3/2$ 模型下的方差互换提供最小价格。
• 通过合流超几何函数与涉及 $_2F_2$ 超几何函数的无穷级数，推导出显式闭式定价公式。
• 对于 0.25 年的期限，基准方法得出的方差互换利率为 0.137767，显著低于风险中性方法的 0.480415。
• 随着期限增加，基准方法与风险中性方法之间的差距缩小：在 2 年期限时，基准利率为 0.360989，而风险中性定价下为 0.290785。
• 方差互换的 Vega 以波动率参数 $y$ 的函数形式被显式推导，其导数通过超几何级数的导数表达。
• 模型通过经验参数（$\gamma = 0.0137$，$b = \eta$，$a_1 = b$）进行校准，数值结果证实了所推导公式的稳定性和收敛性。