[论文解读] Exact quantum Fourier transforms and discrete logarithm algorithms

Michele Mosca, Christof Zalka|ArXiv.org|Jan 17, 2003

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用 7

一句话总结

本文提出一种方法，通过使用幅值放大修正Kitaev的近似特征值估计算法步骤，实现对任意阶（包括大素数）的量子傅里叶变换（QFFT）的精确实现。关键贡献在于使Shor的离散对数算法变为精确算法，证明了量子算法无需为概率性，并提供了一类具有高效可计算门参数的统一电路族。

ABSTRACT

We show how the quantum fast Fourier transform (QFFT) can be made exact for arbitrary orders (first for large primes). For most quantum algorithms only the quantum Fourier transform of order $2^n$ is needed, and this can be done exactly. Kitaev \cite{kitaev} showed how to approximate the Fourier transform for any order. Here we show how his construction can be made exact by using the technique known as ``amplitude amplification''. Although unlikely to be of any practical use, this construction e.g. allows to make Shor's discrete logarithm quantum algorithm exact. Thus we have the first example of an exact non black box fast quantum algorithm, thereby giving more evidence that ``quantum'' need not be probabilistic. We also show that in a certain sense the family of circuits for the exact QFFT is uniform. Namely the parameters of the gates can be calculated efficiently.

研究动机与目标

• 开发适用于任意阶（尤其是大素数）的精确量子傅里叶变换（QFFT），因为先前的构造仅适用于近似值。
• 通过使用精确QFFT使Shor的离散对数算法变为精确，以克服概率性量子算法的局限性。
• 证明精确QFFT的电路族是统一的，且门参数可从阶高效计算得出。
• 将幅值放大的适用范围从搜索扩展至如QFFT这样的酉变换。

提出的方法

• 使用幅值放大修正QFFT中Kitaev的近似特征值估计算法步骤，将其转化为精确过程。
• 修改启发式算法，使其成功概率恰好为1/4，从而通过一次幅值放大迭代即可确定性地获得正确态。
• 引入一个受控相位操作，通过检查 $ x' = x $ 来识别正确的特征值，从而实现选择性幅值放大。
• 将精确QFFT构建为奇数阶和2的幂次的QFFT的张量积，实现对合数阶的模块化构造。
• 在群阶 $ q $ 未知其因数分解时，在离散对数算法中应用迭代幅值放大，每一步减少问题规模，且不引入新的特殊门。
• 确保所有门参数均可从阶 $ q $ 高效计算，保持电路的统一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使量子傅里叶变换对任意阶（包括大素数）实现精确，而不仅限于2的幂次？
• RQ2 能否使用幅值放大将一个近似的量子算法转化为精确算法，特别是针对QFFT？
• RQ3 能否通过使用精确QFFT使Shor的离散对数算法变为精确，从而消除概率性结果？
• RQ4 精确QFFT的电路族是否是统一的，且门参数可从输入阶高效计算？
• RQ5 当群阶的因数分解未知时，能否使用精确QFFT使离散对数算法变为精确？

主要发现

• 本文通过使用幅值放大使Kitaev的特征值估计算法步骤精确化，构建了适用于任意阶（包括大素数）的精确量子傅里叶变换。
• 幅值放大步骤的成功概率被调节为1/4，确保单次迭代即可确定性地获得正确态。
• 通过使用精确QFFT，使Shor的离散对数算法变为精确，提供了首个精确非黑箱快速量子算法的实例。
• 精确QFFT的电路族是统一的，因为所有门参数均可从阶 $ q $ 高效计算，即使在不知道其因数分解的情况下亦然。
• 对于未知阶因数分解的离散对数问题，该算法使用 $ O(\log q) $ 次运行，每次运行至少将问题规模减半，同时重用同一组门。
• 该构造在迭代过程中未引入新的特殊门，保持了统一性，并使得仅通过高效计算的参数即可组装出单一量子电路。