[论文解读] Exact representation of truncated variation of Brownian motion

Piotr Miłoś|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文通过将截断变差与斯科罗霍德问题联系起来，建立了布朗运动截断变差的精确分布表示。结果表明，截断变差过程的逆过程在时间平移意义下是一个 Lévy 下调和过程，其拉普拉斯指数为 $\sqrt{2q}\tanh(c\sqrt{q/2})$，从而为定义截断变差的变分问题中的极小化子提供了新的显式路径特征刻画。

ABSTRACT

In the recent papers [Lochowski:2011fk, Lochowski:2013yq, Lochowski:2013lr] the truncated variation has been introduced, characterized and studied in various stochastic settings. In this note we uncover an intimate link to the Skorokhod problem. Further, we exploit it to give an explicit representation of the truncated variation of a Brownian motion. More precisely, we prove that the inverse of this process is, up to a minor time shift, a Lévy subordinator with the exponent \sqrt{2q} anh(c\sqrt{q/2}) . This also gives a representation of a solution of the two-sided Skorokhod problem for a Brownian motion.

研究动机与目标

• 建立布朗运动截断变差的精确路径特征刻画。
• 将截断变差与 càdlàg 函数的斯科罗霍德嵌入问题联系起来。
• 利用局部时和首达时间，推导出截断变差过程的显式分布表示。
• 证明截断变差过程的逆过程是具有特定拉普拉斯指数的时间平移 Lévy 下调和过程。
• 通过变分问题的极小化子，为布朗运动提供双侧斯科罗霍德问题的解。

提出的方法

• 使用截断变差的变分特征，将其定义为在路径周围 $c/2$ 管道内所有函数总变差的下确界。
• 应用引理 1，将极小化子 $g^c$ 表示为两个递增过程 $f_1$ 和 $f_2$ 的差，分别对应于上行和下行跳跃。
• 利用布朗运动在水平 $kc$ 和 $(2k+1)c$ 处的局部时 $L_t^a$ 定义过程 $X_t^c$ 和 $Y_t^c$。
• 建立分布等价关系：$\text{TV}^c(B,[0;t]) \stackrel{d}{=} Y_{t - (\tau_U \wedge \tau_D)}^c$，其中 $\tau_U, \tau_D$ 分别为路径首次达到运行最小值/最大值之上和之下的 $c$ 水平的首达时间。
• 通过涉及首达时间分布和局部时密度的极限过程，推导出逆截断变差过程的拉普拉斯指数。
• 利用强马氏性质和首达时间概率的渐近分析，证明离散近似向连续拉普拉斯变换收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在分布上精确表示布朗运动的截断变差？
• RQ2 截断变差与布朗路径的斯科罗霍德问题之间有何联系？
• RQ3 截断变差过程的逆是否为 Lévy 下调和过程？若是，其拉普拉斯指数为何？
• RQ4 能否通过局部时和首达时间显式刻画定义截断变差的变分问题的极小化子？
• RQ5 在布朗路径中，首次出现相对于运行最小值或最大值的显著偏离（大小为 $c$）所需时间的分布是什么？

主要发现

• 截断变差 $\text{TV}^c(B,[0;t])$ 的分布与 $Y_{t - (\tau_U \wedge \tau_D)}^c$ 相同，其中 $Y_t^c = \sum_{k \in \mathbb{Z}} L_t^{kc}$ 是由 $c$ 的整数倍水平处的局部时构成的过程。
• 截断变差过程的逆过程在时间平移意义下是拉普拉斯指数为 $\sqrt{2q}\tanh(c\sqrt{q/2})$ 的 Lévy 下调和过程。
• 变分问题中的极小化子 $g^c$ 由 $g^c(t) = x + f_1(t) - f_2(t)$ 给出，其中 $f_1, f_2$ 是集中于路径触及 $c/2$ 管道下边界和上边界的集合上的递增过程。
• $\tau_U$ 和 $\tau_D$ 的尾部呈指数衰减，且 $\tau_U \wedge \tau_D$ 对应于文献中所述的 $\theta(c)$。
• 通过首达时间离散近似和局部时区间的极限过程，推导出逆截断变差过程的拉普拉斯变换。
• 离散近似向连续拉普拉斯变换的收敛在起始点 $x$ 上是一致的，从而保证了极限的有效性。