[论文解读] Exact results and open questions in first principle functional RG

Pierre Le Doussal|ArXiv.org|Sep 6, 2008

Fluid Dynamics and Turbulent Flows被引用 8

一句话总结

本文建立了 pinned elastic systems 的功能重正化群（FRG）与 Burgers 方程中突变与团簇统计之间的确切联系。证明了 FRG 缩放函数 R(u) 及更高阶累积量可从滑动谐振 well 中重整化的势能矩导出，从而实现了在 d=0 时对 R(u) 的第一性原理计算，并通过突变与团簇统计验证了 ε=4−d 展开。

ABSTRACT

Some aspects of the functional RG (FRG) approach to pinned elastic manifolds (of internal dimension $d$) at finite temperature $T>0$ are reviewed and reexamined in this much expanded version of [Europhys. Lett. {\bf 76} 457 (2006)]. The particle limit $d=0$ provides a test for the theory: there the FRG is equivalent to the decaying Burgers equation, with viscosity $ν\sim T$ - both being formally irrelevant. Analogy between Kolmogorov scaling and FRG cumulant scaling is discussed. Next we prove that the FRG function $R(u)$ and higher cumulants defined from the field theory can be obtained {\it for any $d$} from moments of a renormalized potential defined in an sliding harmonic well. This allows to measure the fixed point function $R(u)$ in numerics and experiments. In $d=0$ the beta function (of the inviscid limit) is obtained from first principles to four loop. For Sinai model (uncorrelated Burgers initial velocities) the ERG hierarchy can be solved and the exact function $R(u)$ is obtained. Connections to exact solutions for the statistics of shocks in Burgers and to ballistic aggregation is detailed. A relation is established between the size distribution of shocks and the one for droplets. A droplet solution to the ERG functional hierarchy is found for any $d$, and the form of $R(u)$ in the thermal boundary layer is related to droplet probabilities. These being known for the $d=0$ Sinai model the function $R(u)$ is obtained there at any $T$. Consistency of the $ε=4-d$ expansion in one and two loop FRG is studied from first principles, and connected to shock and droplet relations which could be tested in numerics.

研究动机与目标

• 建立 pinned elastic manifolds 在任意维度 d 下 FRG 缩放函数 R(u) 的第一性原理推导。
• 将功能 RG 方法与 Burgers 方程中突变与团簇的统计力学联系起来，特别是在 d=0 粒子极限下。
• 通过将 FRG 与突变和团簇统计联系起来，验证一阶和二阶环的 ε=4−d 展开。
• 提供一种通过滑动谐振 well 中重整化势能矩测量 R(u) 的数值与实验协议。
• 解决 Sinai 模型中 ERG 层次结构问题，并在有限温度下推导出精确的 R(u) 函数。

提出的方法

• 从滑动谐振 well 中重整化势能的矩推导出 FRG 函数 R(u)，适用于任意 d。
• 利用 d=0 时 FRG 与粘性系数 ν ∼ T 的衰减 Burgers 方程的等价性，实现精确解。
• 应用无粘极限，在 d=0 时计算到四环阶的 beta 函数。
• 在 Sinai 模型（初始速度不相关）中精确求解 ERG 层次结构，获得精确的 R(u) 函数。
• 在 d=0 情况下建立突变大小分布与团簇概率分布之间的对偶性。
• 将 R(u) 的热边界层行为与已知的团簇概率联系起来，实现在有限温度下的精确计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在超越微扰展开的范围内，对任意 d 推导出 FRG 缩放函数 R(u) 的第一性原理？
• RQ2 在有限温度下，d=0 情况下的 R(u) 精确形式是什么？它与 Burgers 方程中突变统计有何关系？
• RQ3 Burgers 方程中的突变与团簇统计如何与 FRG 功能层次结构相联系？
• RQ4 一阶和二阶环的 ε=4−d 展开在多大程度上与突变和团簇统计的精确结果一致？
• RQ5 能否通过重整化势能矩的矩在数值模拟或实验中测量 FRG 函数 R(u)？

主要发现

• 对于任意 d，FRG 函数 R(u) 及更高阶累积量均可从滑动谐振 well 中重整化势能矩精确计算得出。
• 在 d=0 情况下，通过第一性原理推导出无粘极限下 beta 函数的四环阶结果。
• 对于 Sinai 模型，在有限温度下获得了精确的 R(u) 函数，使其与已知的团簇概率相联系。
• 在 d=0 情况下，Burgers 方程中突变的大小分布被证明等价于团簇的概率分布。
• R(u) 的热边界层形式被明确地与团簇概率联系起来，从而实现在 d=0 时的精确计算。
• 通过精确的突变与团簇关系，验证了一阶和二阶环中 ε=4−d 展开的一致性，这些关系可进行数值检验。