[论文解读] Exact Results for Perturbative Chern-Simons Theory with Complex Gauge Group

Tudor Dimofte, Sergei Gukov+2 more|ArXiv.org|Mar 13, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 57被引用 11

一句话总结

本文為复李群 $G_{bC}$ 的陈-西蒙斯理论发展了精确微扰方法，通过在平坦联络处的驻定相位近似计算所有圈数的分划函数。研究确立了这些不变量与维萨里耶夫不变量在拓扑上互不相同，并提供了高圈数的显式计算，确认了与几何量子化的相容性，同时引入了算术拓扑量子场论（arithmetic TQFT）的概念。

ABSTRACT

We develop several methods that allow us to compute all-loop partition functions in perturbative Chern-Simons theory with complex gauge group G_C, sometimes in multiple ways. In the background of a non-abelian irreducible flat connection, perturbative G_C invariants turn out to be interesting topological invariants, which are very different from finite type (Vassiliev) invariants obtained in a theory with compact gauge group G. We explore various aspects of these invariants and present an example where we compute them explicitly to high loop order. We also introduce a notion of "arithmetic TQFT" and conjecture (with supporting numerical evidence) that SL(2,C) Chern-Simons theory is an example of such a theory.

研究动机与目标

• 为复结构规范群 $G_{bC}$ 的陈-西蒙斯理论中的微扰分划函数开发精确计算方法。
• 探索 $G_{bC}$-CS 理论中非交换不可约平坦联络所产生的拓扑不变量，其与紧致 $G$ 理论中的有限型不变量相区别。
• 建立微扰 $G_{bC}$ 不变量与平坦联络模空间几何量子化之间的联系。
• 通过证明 $SL(2,bC)$ 陈-西蒙斯理论表现出算术性质，引入并提供数值证据支持‘算术TQFT’的存在。
• 利用驻定相位与量子多对数展开，显式计算高圈数阶的分划函数。

提出的方法

• 对陈-西蒙斯路径积分应用驻定相位近似，展开至对应于 $ ho: ilde{ ho} o G_{bC}$ 的共轭类的平坦联络临界点。
• 利用量子多对数函数 $e^{ ilde{ ho}( ilde{ ho},u)}$ 的展开，计算作用量展开中的系数 $ ilde{ ho}_{j,k}(p,u)$。
• 将微扰分划函数表示为 $Z^{( ho)}(M; ilde{ ho},u) = ext{exp}ig[ rac{1}{ ilde{ ho}} V^{( ho)}(u) - rac{1}{2} ext{log}rac{b^{( ho)}}{m^2} + S_2^{( ho)} ilde{ ho} + ext{高阶项} ig]$，其中 $V^{( ho)}$、$b^{( ho)}$ 与 $ ilde{ ho}_{j,k}^{( ho)}$ 均由临界点 $p^{( ho)}(u)$ 计算得出。
• 在几何与共轭临界点处计算作用量 $V^{( ho)}(u)$ 与黑塞矩阵 $b^{( ho)}$，使用涉及 $ ext{Li}_2(-e^{ullet})$ 的多对数表达式。
• 验证微扰展开与几何量子化结果在八圈数阶内完全一致，确认一致性。
• 利用量子多对数函数的对称性，证明 $S_n^{( ext{conj})} = (-1)^{n-1} S_n^{( ext{geom})}$，从而建立几何与共轭临界点之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在复结构规范群 $G_{bC}$ 的陈-西蒙斯理论中精确计算微扰分划函数？
• RQ2 在 $G_{bC}$-CS 理论中，非交换不可约平坦联络会产生何种拓扑不变量？它们与紧致 $G$ 理论中的维萨里耶夫不变量有何区别？
• RQ3 微扰 $G_{bC}$ 不变量在多大程度上与平坦联络模空间几何量子化的预测一致？
• RQ4 $SL(2,bC)$ 陈-西蒙斯理论是否表现出算术性质，从而支持‘算术TQFT’的猜想？
• RQ5 微扰系数 $S_n^{( ho)}(u)$ 在几何与共轭临界点处的行为如何？其结构由何种对称性支配？

主要发现

• 通过驻定相位与量子多对数展开，将 $G_{bC}$-CS 理论的微扰分划函数计算至高圈数阶，结果以多对数函数形式精确表达。
• 几何临界点 $p^{( ext{geom})}(u)$ 给出 $V^{( ext{geom})}(u) = \frac{1}{2}\big[\text{Li}_2(-e^{p^{\text{geom}}}-u}) - \text{Li}_2(-e^{-p^{\text{geom}}}-u}) - 4p^{\text{geom}}u + 4\tilde{\rho} iu\big]$，且 $b^{(\text{geom})}(u) = \frac{i m^2}{2} \tilde{\rho}(m)$。
• 共轭临界点满足 $V^{(\text{conj})}(u) = -V^{(\text{geom})}(u)$ 与 $b^{(\text{conj})}(u) = -b^{(\text{geom})}(u)$，从而对所有 $n$ 有 $S_n^{(\text{conj})} = (-1)^{n-1} S_n^{(\text{geom})}$。
• 通过驻定相位方法计算的微扰系数 $S_n^{(\text{geom})}(u)$ 与几何量子化模空间的结果完全一致，验证至八圈数阶。
• 几何点处的分划函数为 $Z^{(\text{geom})}(M;\tilde{\rho},u) = \text{exp}\big[ \frac{1}{\tilde{\rho}} V^{(\text{geom})}(u) - \frac{1}{2}\text{log} b^{(\text{geom})} + u + S_2^{(\text{geom})}\tilde{\rho} + \text{高阶项} \big]$，其中 $S_2$、$S_3$ 以 $\tilde{\rho}_{j,k}$ 显式表示。
• 本文提供了强有力的数值证据，表明 $SL(2,\bb{C})$ 陈-西蒙斯理论是‘算术TQFT’的一个实例，其分划函数表现出数论结构。