[论文解读] Exact results for supersymmetric quantum mechanics on the lattice

David Baumgartner, Urs Wenger|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2012

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 10被引用 10

一句话总结

本论文利用费米子环表述和转移矩阵技术，在晶格上对 $/mathcal{N}=2$ 超对称量子力学给出了精确结果。它展示了在连续极限下超对称性如何恢复，以及在超对称性被破坏的情况下金斯蒂诺模如何出现，同时费米子环方法通过分离玻色子与费米子部分成功规避了符号问题。

ABSTRACT

We discuss N=2 supersymmetric quantum mechanics on the lattice using the fermion loop formulation. In this approach the system naturally decomposes into a bosonic and fermionic sector. This allows us to deal with the sign problem arising in the context of broken supersymmetry due to the vanishing of the Witten index. Employing transfer matrix techniques we obtain exact results at finite lattice spacing and are hence able to study how the continuum limit is approached. In particular, we determine how supersymmetry is restored and how, in the case of broken supersymmetry, the goldstino mode emerges.

研究动机与目标

• 研究 $/mathcal{N}=2$ 超对称量子力学在晶格上的非微扰行为，采用精确方法。
• 解决在超对称性被破坏时出现的费米子符号问题，此时威滕指标为零。
• 研究连续极限如何恢复超对称性，以及金斯蒂诺模如何在谱中出现。
• 证明费米子环表述在处理具有无质量费米子模的系统时的有效性。
• 利用转移矩阵在有限晶格间距下提供配分函数和能隙的精确结果。

提出的方法

• 采用费米子环表述将配分函数分离为玻色子与费米子贡献，实现无符号问题的模拟。
• 使用转移矩阵技术在有限晶格间距下计算精确本征值与谱数据。
• 采用 $r=1$ 的威尔逊型晶格导数以避免费米子加倍，同时添加反项以在连续极限下恢复超对称性。
• 威滕指标计算为 $W = \text{Tr}_b e^{-\beta H} - \text{Tr}_f e^{-\beta H}$，费米子积分后配分函数以 $\text{det}\thinspace D(\theta)$ 表达。
• 通过具有偶次和奇次最高次项的势能函数，在未破缺与破缺超对称相中研究该系统。
• 通过固定逆温度 $\beta = 1/T$ 时令 $a \to 0$ 来逼近连续极限，仔细分析 $T \to 0$ 与 $a \to 0$ 的极限顺序。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限晶格间距下，威滕指标如何表现？$T \to 0$ 与 $a \to 0$ 的极限顺序有何作用？
• RQ2 在连续极限下，超对称能隙（特别是玻色子与费米子态之间的简并）如何恢复？
• RQ3 在超对称性破缺的情况下，金斯蒂诺模作为零能费米子激发如何出现？
• RQ4 能隙中的晶格效应的性质是什么？它们如何随晶格间距 $a$ 变化？
• RQ5 费米子环表述能否有效处理超对称性破缺且威滕指标为零的超对称系统中的符号问题？

主要发现

• 在超对称性破缺情况下，威滕指标 $W$ 在有限 $a$ 下的 $T \to 0$ 极限中为 $-1$，表明存在唯一的费米子基态，且仅在先取 $T \to 0$ 再取 $a \to 0$ 的连续极限下趋近于 $0$。
• 在未破缺超对称情况下，$W = +1$ 在有限 $a$ 下的 $T \to 0$ 极限中成立，反映存在唯一的玻色子基态，且在连续极限中仍保持为 $+1$。
• 玻色子与费米子谱中最低激发能隙在连续极限下趋于简并，证实了超对称性的恢复。
• 金斯蒂诺模（在破缺相中为零能费米子激发）仅在 $a \to 0$ 极限下出现，其质量在有限 $a$ 下从上方趋近于零。
• 大多数态的能隙中晶格效应为 ${\rm O}(a)$，但在破缺超对称性下 $F=0$ 通道的玻色子能隙为 ${\rm O}(a^2)$。
• 费米子环表述成功地将符号问题隔离到行列式结构中，并在连续极限下 $Z_{PBC} = 0$ 时仍能实现可观测量的精确计算。