[论文解读] Exact separation phenomenon for the eigenvalues of large Information-Plus-Noise type matrices. Application to spiked models

Mireille Capitaine|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2013

Random Matrices and Applications被引用 18

一句话总结

本文在大信息加噪声随机矩阵的特征值谱中建立了精确的分离现象，表明当满足温和的矩和谱假设时，$M_N = (\sigma X_N/\sqrt{N} + A_N)(\sigma X_N/\sqrt{N} + A_N)^*$ 的极限谱分布 $\mu_{\sigma,\nu,c}$ 中的谱间隙，恰好对应于 $A_N A_N^*$ 的谱中的间隙。关键贡献在于通过极限谱测度和斯蒂尔杰斯变换分析，对脉冲模型中的异常值进行了表征。

ABSTRACT

We consider large Information-Plus-Noise type matrices of the form $M_N=(\\sigma \\frac{X_N}{\\sqrt{N}}+A_N)(\\sigma \\frac{X_N}{\\sqrt{N}}+A_N)^*$ where $X_N$ is an $n \ imes N$ ($n\\leq N)$ matrix consisting of independent standardized complex entries, $A_N$ is an $n \ imes N$ nonrandom matrix and $\\sigma>0$. As $N$ tends to infinity, if $n/N \ ightarrow c\\in ]0,1]$ and if the empirical spectral measure of $A_N A_N^*$ converges weakly to some compactly supported probability distribution $\ u \ eq \\delta_0$, Dozier and Silverstein established that almost surely the empirical spectral measure of $M_N$ converges weakly towards a nonrandom distribution $\\mu_{\\sigma,\ u,c}$. Bai and Silverstein proved, under certain assumptions on the model, that for some closed interval in $]0;+\\infty[$ outside the support of $\\mu_{\\sigma,\ u,c}$ satisfying some conditions involving $A_N$, almost surely, no eigenvalues of $M_N$ will appear in this interval for all $N$ large. In this paper, we carry on with the study of the support of the limiting spectral measure previously investigated by Dozier and Silverstein and later by Vallet, Loubaton and Mestre and Loubaton and P. Vallet, and we show that, under almost the same assumptions as Bai and Silvertein, there is an exact separation phenomenon between the spectrum of $M_N$ and the spectrum of $A_NA_N^*$: to a gap in the spectrum of $M_N$ pointed out by Bai and Silverstein, it corresponds a gap in the spectrum of $A_NA_N^*$ which splits the spectrum of $A_NA_N^*$ exactly as that of $M_N$. We use the previous results to characterize the outliers of spiked Information-Plus-Noise type models.

研究动机与目标

• 研究当 $N \to \infty$ 时，大信息加噪声型矩阵 $M_N = (\sigma X_N/\sqrt{N} + A_N)(\sigma X_N/\sqrt{N} + A_N)^*$ 的谱行为。
• 在极限谱测度 $\mu_{\sigma,\nu,c}$ 与 $A_N A_N^*$ 的谱之间建立精确对应关系，即谱间隙的对应。
• 表征脉冲模型中极端特征值（异常值）的几乎必然收敛性，特别是当 $A_N$ 在 $\mu_{\sigma,\nu,c}$ 的本体之外具有孤立特征值时。
• 通过证明相对于 $\mu_{\sigma,\nu,c}$ 支持集的特征值异常值的精确定位，扩展先前关于谱分离的结果。

提出的方法

• 分析依赖于斯蒂尔杰斯变换 $g_{\mu_{\sigma,\nu,c}}(z)$，其满足一个固定点方程，涉及 $A_N A_N^*$ 的谱测度 $\nu$ 和比值 $c = \lim n/N$。
• 论文采用来自 Dozier 和 Silverstein 工作的极限谱测度 $\mu_{\sigma,\nu,c}$，该测度刻画了 $\mu_{M_N}$ 几乎必然的弱收敛性。
• 应用谱间隙条件：若 $[a,b]$ 位于 $\text{supp}(\mu_{\sigma,\nu,c})$ 之外，则在矩和有界性假设下，对充分大的 $N$，$M_N$ 的特征值不会出现在 $[a,b]$ 中。
• 作者通过 $A_N$ 的特征结构进行摄动分析，特别关注 $A_N A_N^*$ 的孤立特征值 $\theta_j$，并将其位置与 $M_N$ 的极限特征值位置相关联。
• 通过 $\mu_{\sigma,\nu,c}$ 的累积分布函数在谱边之间的区间上的连续性和单调性，建立了特征值 $\lambda_{n_{j-1}+i}(M_N)$ 到 $\mu_{\sigma,\nu,c}$ 的分位数的收敛性。
• 证明技术借鉴了 Bai 和 Silverstein（2006）的结果，并通过展示 $A_N A_N^*$ 与 $M_N$ 之间谱间隙的精确对应，对其进行了扩展。

实验结果

研究问题

• RQ1 若 $A_N A_N^*$ 的谱中存在间隙，是否意味着 $M_N$ 的极限谱测度 $\mu_{\sigma,\nu,c}$ 中也存在相应间隙？
• RQ2 当 $A_N$ 具有孤立特征值时，$M_N$ 的极端特征值能否相对于 $\mu_{\sigma,\nu,c}$ 的支集被精确定位？
• RQ3 在极限下，$M_N$ 的特征值在多大程度上从 $\mu_{\sigma,\nu,c}$ 的本体中‘分离’出来？这种分离如何反映 $A_N A_N^*$ 的结构？
• RQ4 脉冲模型中异常值的极限位置如何与 $A_N A_N^*$ 的谱分布 $\nu$ 相关联？

主要发现

• 建立了精确的分离现象：若 $A_N A_N^*$ 的谱中存在间隙，则 $M_N$ 的特征值在极限谱测度 $\mu_{\sigma,\nu,c}$ 中避开对应区间，且该间隙在极限下得以保持。
• 对于 $A_N A_N^*$ 的任意孤立特征值 $\theta_j$，对应的 $k_j$ 个 $M_N$ 的特征值几乎必然收敛到 $\mu_{\sigma,\nu,c}$ 的分位数 $q_{\alpha_j}$，其中 $\alpha_j = \nu(]-\infty, \theta_j])$。
• 当 $\theta_j$ 位于 $\text{supp}(\nu)$ 的两个连通分支之间时，$M_N$ 的 $k_j$ 个特征值几乎必然收敛到 $\Phi_{\sigma,\nu,c}(v_{l_j}^+)$，即 $\mu_{\sigma,\nu,c}$ 支持集中对应于该分支的区间的右端点。
• 证明了 $M_N$ 的极限特征值几乎必然收敛到谱测度 $\nu$ 的谱边在函数 $\Phi_{\sigma,\nu,c}$ 下的像，该函数将 $\nu$ 的谱边映射到 $\mu_{\sigma,\nu,c}$ 的谱边。
• 由于 $\mu_{M_N}$ 收敛到 $\mu_{\sigma,\nu,c}$，因此在任意区间 $[q_{j}-\epsilon, q_{j}+\epsilon]$ 中，$M_N$ 的特征值个数几乎必然收敛到 $\mu_{\sigma,\nu,c}$ 在该区间中的特征值个数。