[论文解读] Exact sequences of fibrations of crossed complexes, homotopy classification of maps, and nonabelian extensions of groups

Ronald Brown|ArXiv.org|Feb 29, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用 8

一句话总结

本论文通过交叉复形的纤维丛精确序列，建立了从自由交叉复形到交叉复形类从空间的映射的同伦分类。它推广了经典群扩张的障碍理论，表明在特定上同调群中障碍类的消失是将给定群同态实现为交叉复形同态的充要条件，且当障碍消失时，同伦类的集合与该上同调群之间存在双射关系。

ABSTRACT

The classifying space of a crossed complex generalises the construction of Eilenberg-Mac Lane spaces. We show how the theory of fibrations of crossed complexes allows the analysis of homotopy classes of maps from a free crossed complex to such a classifying space. This gives results on the homotopy classification of maps from a CW-complex to the classifying space of a crossed module and also, more generally, of a crossed complex whose homotopy groups vanish in dimensions between 1 and n. The results are analogous to those for the obstruction to an abstract kernel in group extension theory.

研究动机与目标

• 开发从CW复形到交叉复形类从空间的映射的同伦分类框架。
• 使用交叉复形的语言，推广经典非交换群扩张与抽象核的障碍理论。
• 表明实现给定群同态为交叉复形同态的存在性由特定上同调群中的上同调障碍控制。
• 在交叉复形与纤维丛的统一框架下，统一处理n-阿斯pherical空间与非交换扩张的分类问题。

提出的方法

• 利用交叉复形范畴上的闭合张量结构，定义指数对象与同伦类。
• 应用Howie定义的交叉复形纤维丛概念，构造同伦群与同伦类的精确序列。
• 构建涉及交叉复形类从空间的纤维丛序列，并利用映射复形上的诱导映射分析同伦类。
• 以基本交叉复形及其同伦分类定理 [ΠX∗, C] ∼= [X, BC] 作为基础工具。
• 利用交叉复形上的模型范畴结构定义同伦群与纤维丛，从而分析提升与扩张问题。
• 应用相对Hurewicz定理与同伦加法引理，关联交叉复形背景下的同伦群与同调群。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过交叉复形的纤维丛分析从CW复形到交叉复形类从空间的映射的同伦分类？
• RQ2 将群同态实现为交叉复形同态的上同调障碍是什么？
• RQ3 交叉复形理论如何统一映射到n-阿斯pherical空间与非交换群扩张的分类？
• RQ4 交叉复形纤维丛的精确序列如何控制同态的存在性与分类？
• RQ5 标准群的自由交叉复形解析能否被任意自由解析替代以计算扩张类？

主要发现

• 障碍类 kθ ∈ Hn+1θφ(F, A) 当且仅当给定群同态 θ : Φ → Q 可提升为交叉复形同态 F → C 时消失。
• 当障碍类消失时，实现 θφ 的交叉复形同态 F → C 的同伦类集合与阿贝尔群 Hnθφ(F, A) 之间存在双射关系。
• 群 Hnθφ(F, A) 在同伦类集合 [F, C; θφ] 上自由且可迁地作用，从而构成扭子结构。
• 该理论推广了经典群扩张与抽象核的障碍理论，提供了统一的框架。
• 该结果不依赖于群G的自由交叉复形解析的选择，当存在时可使用有限或小的解析，例如在FP3情形下。
• 该构造与Whitehead关于同伦纤维丛的精确序列相容，将空间的同伦类型与其基本交叉复形联系起来。