[论文解读] Exact sequences of tensor categories

Alain Bruguières, Sonia Natale|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 38被引用 73

一句话总结

本文将张量范畴的正合序列作为群与量子群代数理论中正合序列的推广，建立了此类序列与正规忠实量子群函子、交换中心代数等结构之间的等价关系。主要结果表明：弗罗贝尼乌斯-佩罗指数为奇数且无平方因子的有 braided 融合范畴，与某有限群的表示范畴张量等价。

ABSTRACT

We introduce the notions of normal tensor functor and exact sequence of tensor categories. We show that exact sequences of tensor categories generalize strictly exact sequences of Hopf algebras as defined by Schneider, and in particular, exact sequences of (finite) groups. We classify exact sequences of tensor categories C' -> C -> C'' (such that C' is finite) in terms of normal faithful Hopf monads on C'' and also, in terms of self-trivializing commutative algebras in the center of C. More generally, we show that, given any dominant tensor functor C -> D admitting an exact (right or left) adjoint there exists a canonical commutative algebra A in the center of C such that F is tensor equivalent to the free module functor C -> mod_C A, where mod_C A denotes the category of A-modules in C endowed with a monoidal structure defined using the half-braiding of A. We re-interpret equivariantization under a finite group action on a tensor category and, in particular, the modularization construction, in terms of exact sequences, Hopf monads and commutative central algebras. As an application, we prove that a braided fusion category whose dimension is odd and square-free is equivalent, as a fusion category, to the representation category of a group.

研究动机与目标

• 将群与量子群代数中的正合序列推广至张量范畴的更广泛背景。
• 利用商范畴上的代数结构对融合范畴的正合序列进行分类。
• 在范畴中心中建立正合序列、量子群函子与交换代数之间的结构联系。
• 将该框架应用于证明：弗罗贝尼乌斯-佩罗指数为奇数且无平方因子的 braided 融合范畴等价于群的表示范畴。
• 重新诠释模化与等变化为正合序列，统一这些构造于同一框架之下。

提出的方法

• 通过支配性、正规函子（其核等价于源范畴）定义张量范畴的正合序列。
• 利用坦纳卡对偶性，为序列中出现的纤维函子关联一个量子群代数。
• 建立正合序列与目标范畴上正规忠实量子群函子之间的对应关系。
• 利用函子的右伴随构造中间范畴中心中的一个典范交换代数。
• 将理论应用于等变化与模化，表明它们是正合序列的特例。
• 使用上同调与维数理论论证（例如奇数性、无平方因子性）对 braided 融合范畴进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以一种推广群与量子群代数正合序列的方式，定义并分类张量范畴的正合序列？
• RQ2 目标范畴上的何种代数结构编码了张量范畴的正合序列？
• RQ3 在何种条件下，弗罗贝尼乌斯-佩罗指数为奇数且无平方因子的 braided 融合范畴等价于群表示范畴？
• RQ4 量子群函子与交换中心代数如何与正合序列的结构相关联？
• RQ5 能否通过张量范畴的正合序列统一描述模化与等变化？

主要发现

• 融合范畴的正合序列满足乘法弗罗贝尼乌斯-佩罗维数：FPdim C = FPdim C′ × FPdim C′′。
• 对于有限融合范畴 C′ → C → C′′ 的正合序列，其分类由 C′′ 上的正规忠实量子群函子决定，该函子诱导的量子群代数与 C′ 张量等价。
• 弗罗贝尼乌斯-佩罗指数为 2 的支配张量函子 F: C → C′′ 必然正规，因此构成一个以 rep Z₂ 为核的正合序列。
• 复数域上具有奇数且无平方因子弗罗贝尼乌斯-佩罗维数的 braided 融合范畴是可模化的，且其模化范畴具有纤维函子。
• 任意具有奇数且无平方因子维数的 braided 融合范畴，均与某有限群的表示范畴张量等价。
• 支配函子 F: C → C′′ 诱导的中心代数 (A, σ) 是自平凡化的，当且仅当 F 是正规的，且 F 与 A 上的自由模函子等价。