[论文解读] Exact smooth piecewise polynomial sequences on Alfeld splits

Guosheng Fu, Johnny Guzmán+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2018

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 12被引用 11

一句话总结

该论文在任意空间维数和多项式次数下，构建了在Alfeld剖分（即通过连接单形的顶点与重心形成的三角剖分）上的精确de Rham复形——分片多项式微分形式复形。它在外微分算子的核中建立了增强的光滑性，从而实现了交换投影的构造，对Stokes问题的离散无散子空间进行了表征，并给出了光滑多项式空间的显式维数公式。

ABSTRACT

We develop exact piecewise polynomial sequences on Alfeld splits in any spatial dimension and any polynomial degree. An Alfeld split of a simplex is obtained by connecting the vertices of an $n$-simplex with its barycenter. We show that, on these triangulations, the kernel of the exterior derivative has enhanced smoothness. Byproducts of this theory include characterizations of discrete divergence-free subspaces for the Stokes problem, commutative projections, and simple formulas for the dimensions of smooth polynomial spaces.

研究动机与目标

• 在任意空间维数和多项式次数下，构建Alfeld剖分上的精确、光滑的分片多项式de Rham复形。
• 利用这些复形表征Stokes问题的离散无散子空间。
• 为Alfeld三角剖分上的有限元空间构造唯一确定的自由度和与微分算子交换的投影。
• 推导出Alfeld剖分上光滑多项式空间的显式维数公式。
• 在可缩区域上建立离散de Rham复形的全局正合性。

提出的方法

• 使用重心坐标和外代数在单个单形上定义多项式微分形式。
• 在Alfeld剖分上引入分片多项式k-形式的有限元空间，其在单形面上具有增强的光滑性。
• 证明这些空间中外微分算子的核恰好由恰当形式（即高一阶形式的像）组成，从而确立局部正合性。
• 利用秩-零度定理和欧拉示性数论证，证明在可缩区域上离散复形的全局正合性。
• 为三维有限元空间构造唯一确定的自由度，使其诱导出与微分算子交换的投影。
• 通过在自由度上的计数论证，推导出光滑多项式空间的维数公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Alfeld剖分上定义的分片多项式k-形式中外微分算子的核具有怎样的结构？
• RQ2 如何在具有增强正则性的Alfeld三角剖分上有限元空间上构造与微分算子交换的投影？
• RQ3 在Alfeld剖分上，连续的分片多项式k-形式且其外微分为连续的空间的维数公式是什么？
• RQ4 能否在任意空间维数和任意多项式次数下于Alfeld剖分上构造精确的de Rham复形？
• RQ5 这些复形与已知的有限元族（如Clough-Tocher、Alfeld和Zhang的Stokes元）有何关联？

主要发现

• 在Alfeld剖分上，分片多项式k-形式中外微分算子的核恰好由恰当形式组成，证明了de Rham复形的局部正合性。
• 连续的、分片多项式k-形式且其外微分为连续的空间的维数由一个通过自由度计数导出的闭式公式给出。
• 当 $ r \geq 5 $ 时，从向量值分片多项式空间到标量值分片多项式空间的散度映射在Alfeld剖分上是满射。
• 当 $ r \geq 5 $ 时，从 $ H^1(\text{curl}) $-兼容有限元空间到无散空间的旋度映射是满射，该结论通过维数计数和欧拉示性数恒等式得到验证。
• 在Alfeld三角剖分上，离散de Rham复形在可缩区域上是全局正合的，该结论通过维数匹配和秩-零度论证得到确认。
• 该构造产生了一个新的 $ H^1(\text{curl}) $-兼容有限元空间，能够将Alfeld的 $ C^1 $ 元素与Zhang的inf-sup稳定Stokes对在全球范围内连接起来。