[论文解读] Exact solitary wave solutions of the nonlinear Schrödinger equation with a source

Thokala Soloman Raju, C.N. Kumar+1 more|ArXiv.org|Aug 8, 2003

Nonlinear Waves and Solitons被引用 3

一句话总结

本文通过将解映射到椭圆函数的分数阶变换，为带有相位锁定外部源的非线性薛定谔方程（NLSE）提供了精确的有理型孤立波解。该方法得到了亮度、暗度和奇异孤立子，以及周期性的三角函数和双曲函数解，为吸引和排斥情形提供了非微扰的精确解，并通过数值方法确认了其稳定性。

ABSTRACT

We use a fractional transformation to connect the traveling wave solutions of the nonlinear Schrödinger equation (NLSE), phase-locked with a source, to the elliptic functions satisfying, $f^{\prime\prime}\pm af\pm λf^{3}=0$. The solutions are {\it necessarily} of the rational form, containing both trigonometric and hyperbolic types as special cases. Bright, and dark solitons, respectively, for attractive and repuslive type of nonlinearities, as also singular solitons, are obtained in suitable range of parameter values.

研究动机与目标

• 推导带有相位锁定源的外部驱动非线性薛定谔方程（NLSE）的精确行波解。
• 解决尽管已有大量研究采用微扰和数值方法，但NLSE带源仍缺乏精确解的问题。
• 通过分数阶变换，系统地建立NLSE带源与椭圆函数之间的映射关系。
• 基于参数区域和模参数，对孤立子类型——亮、暗、奇异——进行分类与表征。
• 提供非微扰的精确解，作为研究一般外部驱动NLSE系统的改进初始条件。

提出的方法

• 应用形如 $\rho(\xi) = \frac{A + B f^\delta(\xi,m)}{1 + D f^\delta(\xi,m)}$ 的分数阶变换，将NLSE带源的解映射至椭圆函数。
• 该变换将NLSE带源简化为非线性常微分方程 $\rho'' + \rho^3 - \rho - k = 0$，进而与椭圆方程 $f'' = f - f^3$ 关联。
• 该方法假设行波解形式 $\psi(x,t) = e^{i[\chi(\xi) - \omega t]} \rho(\xi)$，其中 $\xi = \alpha(x - vt)$，并强制与源的相位锁定。
• 利用守恒能量 $E_0 = f'^2/2 + (1/4)f^4 - f^2/2$ 区分 $E_0 = 0$ 和 $E_0 \neq 0$ 的解分支。
• 针对不同情形推导解：三角函数情形（$m=0$）、双曲函数情形（$m=1$）及一般余弦型（$0 < m < 1$），并对参数 $A$、$B$、$D$、$\epsilon$、$k$ 和 $g$ 施加约束。
• 利用Crank-Nicholson有限差分法进行数值模拟，验证了三角函数解的稳定性，从而支持了分析结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当非线性薛定谔方程受相位锁定外部源驱动时，能否推导出精确的孤立波解？
• RQ2 NLSE带源可能产生哪些类型的孤立子——亮、暗、奇异——以及在何种参数条件下？
• RQ3 分数阶变换如何将NLSE带源映射为椭圆函数的解，该映射带来了哪些约束？
• RQ4 守恒能量 $E_0$ 在确定允许的解形式中起什么作用，特别是在 $E_0 = 0$ 与 $E_0 \neq 0$ 的情况下？
• RQ5 所推导的精确解在时间演化下是否稳定，能否作为数值研究的稳健初始条件？

主要发现

• 分数阶变换将NLSE带源映射至椭圆函数，得到分子和分母均为椭圆函数二次型的精确有理型解。
• 当 $E_0 \neq 0$ 时，允许 $A=0$、$B \neq 0$ 的解，例如 $\rho(\xi) = \frac{(k/4E_0)f^2}{1 + (1/8E_0)f^2}$，而 $A \neq 0$、$B=0$ 的情形被禁止。
• 当 $E_0 = 0$ 时，存在奇异解，如 $\rho(\xi) = \frac{2k}{1 - f^2}$；当 $B \neq 0$ 且 $A \neq 0$ 时，非奇异解也可能存在，但 $A=0$、$B \neq 0$ 的情形被禁止。
• 在 $m=0$ 极限下，出现三角函数解，如 $\rho(\xi) = \left(-\frac{2k}{\epsilon}\right)\frac{\cos^2(\xi)}{1 - \frac{2}{3}\cos^2(\xi)}$，该解具有数值稳定性。
• 当 $m=1$ 时，得到双曲函数解，包括奇异形式 $\rho(\xi) = \left(\frac{3k}{\epsilon}\right)\frac{1}{1 - \frac{3}{2}\text{sech}^2(\xi)}$，其在 $\alpha^2 = \epsilon/4$ 时成立。
• 当 $0 < m < 1$ 时，推导出一般余弦型解，如 $\rho(\xi) = \left(\frac{14k}{3\epsilon}\right)\frac{\text{cn}^2(\xi,m)}{1 + \text{cn}^2(\xi,m)}$（$m=5/8$ 时），其中 $\epsilon = 7(-gk^2/18)^{1/3}$。