[论文解读] Exact solution for the Lindbladian dynamics for the open XX spin chain with boundary dissipation

Kohei Yamanaka, Tomohiro Sasamoto|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2021

Quantum many-body systems参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文通过第三方量子化方法，为具有边界耗散的开放XX自旋链中的磁化强度和自旋流的时间演化提供了精确的解析解。通过将Lindbladian动力学映射为一个非厄米$N\times N$矩阵的对角化问题，作者推导出精确公式，揭示了由于边界效应的光锥传播而产生的短时间平台区，以及由Liouvillian能隙主导的长时间$O(N^{-3})$衰减至稳态的行为，其中系数被完全解析确定。

ABSTRACT

We obtain exact formulas for the time-dependence of a few physical observables for the open XX spin chain with Lindbladian dynamics. Our analysis is based on the fact that the Lindblad equation for an arbitrary open quadratic system of $N$ fermions is explicitly solved in terms of diagonalization of a $4N imes4N$ matrix called structure matrix by following the scheme of the third quantization. We mainly focus on the time-dependence of magnetization and spin current. As a short-time behavior at a given site, we observe the plateau regime except near the center of the chain. Basic features of this are explained by the light-cone structure created by propagations of boundary effects from the initial time, but we can explain their more detailed properties analytically using our exact formulas. On the other hand, after the plateau regime, the magnetization and spin current exhibit a slow decay to the steady state values described by the Liouvillian gap. We analytically establish its $O(N^{-3})$ scaling and also determine its coefficient.

研究动机与目标

• 推导开放量子自旋链在Lindbladian动力学下物理可观测量的精确时间依赖公式。
• 分析短时间动力学，特别是由边界诱导的光锥效应导致的平台区出现机制。
• 解析确定向稳态演化的长时间衰减行为，重点关注Liouvillian能隙的标度。
• 展示第三方量子化方法在具有非厄米结构矩阵的二次开放费米子系统中的适用性。
• 利用贝塞尔函数展开和鞍点近似，提供磁化强度和自旋流的显式解析表达式。

提出的方法

• 通过Jordan-Wigner变换，将开放XX自旋链的Lindblad方程映射为二次费米子系统。
• 利用第三方量子化方法求解动力学，将问题简化为对$4N\times 4N$结构矩阵的对角化，进一步简化为对$N\times N$非厄米矩阵的对角化。
• 通过Liouvillian-Fock空间中的围线积分和生成函数，推导出磁化强度和自旋流的精确时间依赖公式。
• 应用鞍点近似进行渐近分析，以理解长时间行为，特别是$O(N^{-3})$衰减标度。
• 使用贝塞尔函数表示法表达时间演化函数，实现解析与数值计算的结合。
• 该方法考虑了局域在边界上的模态，并确认其对所研究可观测量的贡献可忽略。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有边界耗散的开放XX自旋链中，磁化强度和自旋流的精确时间演化行为如何？
• RQ2 边界效应如何在链中传播，其导致短时间动力学中观察到的平台区的机制是什么？
• RQ3 Liouvillian能隙的解析形式是什么，其随系统尺寸$N$如何标度？
• RQ4 第三方量子化方法能否有效应用于推导开放二次费米子系统中时间依赖可观测量的精确解？
• RQ5 局域在边界上的模态在磁化强度和电流等体观测量的动力学中起什么作用？

主要发现

• 短时间动力学中，除链中心附近外，磁化强度和自旋流均表现出平台区，这是由于边界效应的光锥传播所致。
• 平台区可通过围线积分和贝塞尔函数展开推导出的精确公式得到解析解释。
• 平台之后，磁化强度和自旋流均以$O(N^{-3})$的速率缓慢衰减至稳态。
• 该$O(N^{-3})$标度的系数被完全解析确定，并通过Liouvillian谱的渐近分析得到验证。
• 长时间行为由Liouvillian能隙主导，其标度为$O(N^{-3})$，且由非厄米矩阵结构精确导出前因子。
• 该方法成功地将$4N\times 4N$的Lindbladian问题简化为$N\times N$的非厄米矩阵，从而实现了物理可观测量的精确解析解。