[论文解读] Exact Solution of the N-dimensional Radial Schrödinger Equation via Laplace Transformation Method with the Generalized Cornell Potential

M. Abu‐Shady, T. A. Abdel‐Karim+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2018

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 1被引用 7

一句话总结

本论文利用拉普拉斯变换法，对具有广义库仑势的N维径向薛定谔方程给出了精确的解析解。该方法得到了能量本征值和相应波函数的封闭形式表达式，成功重现了重夸克onium谱（粲偶素、底偶素及bc介子），相较于以往研究具有更高的精度，并表明随着空间维度（N）的增加，介子质量亦随之增加。

ABSTRACT

The exact solution of N- dimensional radial Schrödinger equation with the generalized Cornell potential has been obtained using the Laplace transformation (LT) method. The energy eigenvalues and the corresponding wave functions for any state have been determined. The eigenvalues for some special cases of the generalized Cornell potential are obtained. The present results are applied to calculate the mass spectra of heavy quarkonium systems such as charmonium and bottomonium and the bc meson. A comparison is discussed with the experimental data and recent works. The present results are improved in comparison with other recent studies and are in a good agreement with the experimental data. The effect of the dimensional number (N) on the meson masses has been studied. We note that the meson masses increase in higher dimensions.

研究动机与目标

• 推导N维径向薛定谔方程在广义库仑势下的精确解析解。
• 应用拉普拉斯变换法求解任意量子态下的径向方程。
• 计算任意径向和角动量量子态下的能量本征值及其对应波函数。
• 通过计算重夸克偶素系统（粲偶素、底偶素、bc介子）的质量谱并与实验数据比较，验证模型的有效性。
• 研究介子质量对空间维度N的依赖关系，特别是质量随N增加的趋势。

提出的方法

• 采用拉普拉斯变换法求解N维径向薛定谔方程在广义库仑势下产生的二阶微分方程。
• 将径向方程转化为可通过拉普拉斯变换技术求解的形式，使其简化为超几何型微分方程。
• 利用拉普拉斯变换将径向薛定谔方程转化为变换域中的线性一阶微分方程。
• 在拉普拉斯域中应用边界条件和解析性约束，以确定能量本征值的量子化条件。
• 对拉普拉斯变换后的波函数进行反演，得到配置空间中精确的径向波函数。
• 推导出适用于任意量子数（n, l）和维度N的能量本征值与径向波函数的封闭形式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 拉普拉斯变换法能否为具有广义库仑势的N维径向薛定谔方程提供精确的解析解？
• RQ2 在任意N维量子态下，能量本征值和对应径向波函数的精确表达式是什么？
• RQ3 使用该方法预测的粲偶素、底偶素及bc介子的质量谱与实验数据相比如何？
• RQ4 介子质量对空间维度N的依赖关系如何？质量是否如预测的那样随N的增加而上升？
• RQ5 与近期理论研究及实验测量相比，本方法的精度如何？

主要发现

• 拉普拉斯变换法成功地为具有广义库仑势的N维径向薛定谔方程的能量本征值和径向波函数提供了精确的解析解。
• 能量本征值以封闭形式推导出，适用于任意量子态（n, l）和维度N，从而可精确计算夸克偶素谱。
• 该模型准确预测了粲偶素、底偶素及bc介子的质量谱，与实验数据相比，相较于近期理论方法具有更优的一致性。
• 研究发现介子质量随空间维度N的增加而上升，证实了强子态对维度的非平凡依赖关系。
• 对于广义库仑势的特殊情况（如纯库仑项或线性项），结果与已知解析解一致。
• 该方法为研究任意维度下的夸克偶素系统提供了一套系统且精确的框架，是近似或数值方法的有力替代方案。