[论文解读] Exact solution to a gambler's ruin problem with a nonzero halting probability

Ken Yamamoto|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2012

Probability and Statistical Research被引用 2

一句话总结

本文针对具有非零停止概率的赌徒破产问题提出了精确解，其中随机游走者可能以给定概率停留在原地。利用高斯超几何函数，推导了到达原点的首次 passage 时间分布，并计算了持续时间的矩生成函数及矩，揭示了在对称随机游走的长时间极限下，破产概率呈现幂律衰减。

ABSTRACT

This paper treats of a kind of a gambler's ruin problem, which seeks the probability that a random walker first hits the origin at a certain time. In addition to a usual random walk which hops either rightwards or leftwards, the present paper introduces the `halt' that the walker does not hop with a certain probability. The solution to the problem can be obtained exactly using a Gauss hypergeometric function. The moment generating function of the duration is also calculated, and a calculation technique of the moments is developed. The author derives the long-time behavior of the ruin probability, which exhibits power-law behavior if the walker hops to the right and left with equal probability.

研究动机与目标

• 建模每一步具有非零停止概率的随机游走，扩展经典赌徒破产问题。
• 在该改进动力学下，推导到达原点的精确首次 passage 时间分布。
• 计算吸收时间的矩生成函数及矩。
• 分析在对称转移概率下，破产概率的长时间渐近行为。

提出的方法

• 将过程建模为在原点具有吸收态、且每一步具有恒定停止概率的出生-死亡链。
• 使用生成函数和递推关系，推导首次 passage 时间的概率生成函数。
• 通过高斯超几何函数表达解，以获得精确的解析形式。
• 通过级数展开和特殊函数恒等式，推导吸收时间的矩生成函数。
• 对破产概率进行渐近分析，以确定其长时间行为。
• 利用超几何函数的性质提取矩，并分析幂律标度行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有非零停止概率的条件下，游走者首次在给定时间到达原点的精确概率是什么？
• RQ2 在此模型下，吸收时间的矩生成函数行为如何？
• RQ3 当转移概率对称时，破产概率的长时间渐近行为是什么？
• RQ4 破产概率在对称情况下是否表现出幂律衰减？若是，其条件是什么？
• RQ5 如何从生成函数系统地计算吸收时间的矩？

主要发现

• 到达原点的首次 passage 时间分布可通过高斯超几何函数精确表达。
• 已推导出吸收时间的矩生成函数，并证明其具有解析可处理性。
• 可利用级数展开技术系统地计算吸收时间的矩。
• 对于对称随机游走，破产概率在长时间下呈现幂律衰减。
• 幂律指数由跃迁概率与停止概率之间的平衡决定。
• 在对称情况下，长时间行为具有普适性，只要停止概率非零，其具体取值不影响结果。