[论文解读] Exact solutions for a Solow-Swan model with non-constant returns to scale

Nicolò Cangiotti, Mattia Sensi|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2020

Economic theories and models参考文献 34被引用 2

一句话总结

本文在经典与冯·贝塔兰菲劳动动态框架下，使用柯布-道格拉斯生产函数，推导出非规模报酬可变的索洛-斯旺增长模型的精确解析解。引入资本-劳动比的非自治常微分方程，并通过代换与积分法获得闭式解，揭示了在规模报酬递增或递减情况下的不同收敛与增长行为，经数值模拟验证。

ABSTRACT

The Solow-Swan model is shortly reviewed from a mathematical point of view. By considering non-constant returns to scale, we obtain a general solution strategy. We then compute the exact solution for the Cobb-Douglas production function, for both the classical model and the von Bertalanffy model. Numerical simulations are provided.

研究动机与目标

• 将经典索洛-斯旺模型扩展至非恒定规模报酬情形，以突破新古典增长理论中恒定规模报酬的限制性假设。
• 在柯布-道格拉斯生产函数下，推导出规模报酬可变（递增或递减）时资本-劳动比的精确解析解。
• 在两种劳动增长动态下分析该模型：指数增长（经典）与S型增长（冯·贝塔兰菲），均考虑非恒定规模报酬。
• 通过代换与积分技术获得闭式解，实现对长期增长路径的精确刻画。
• 通过数值模拟验证理论结果，比较不同规模报酬下（递增与递减）的行为差异。

提出的方法

• 基于规模报酬度为n的齐次生产函数，正式推导出非恒定规模报酬下资本-劳动比k(t)的非自治一阶常微分方程。
• 应用代换v = k^{1−α}，将非线性常微分方程转化为线性一阶常微分方程，进而通过积分因子法获得精确解。
• 推导出经典模型（劳动增长L(t) = L₀e^{γt}）与冯·贝塔兰菲模型（L(t) = L∞ − (L∞ − L₀)e^{−rt}）下资本-劳动比的精确闭式解。
• 在冯·贝塔兰菲模型中，当α = 1时，引入特殊函数超几何函数₂F₁。
• 使用标准常微分方程求解器对推导出的解进行数值积分，以可视化不同参数配置下的动态行为。
• 系统比较不同n值（规模报酬）、α值（资本份额）及初始条件下解的行为差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有指数劳动增长的索洛-斯旺模型中，当规模报酬非恒定（n ≠ 1）时，资本-劳动比如何随时间演变？
• RQ2 在经典索洛-斯旺框架下，当规模报酬非恒定且生产函数为柯布-道格拉斯时，资本-劳动比的精确解析解是什么？
• RQ3 假设存在有限劳动上限的冯·贝塔兰菲劳动增长模型，如何改变非恒定规模报酬下的资本积累动态？
• RQ4 在两种模型变体中，规模报酬递增（n > 1）与递减（n < 1）在长期增长行为上的定性差异为何？
• RQ5 数值模拟在多大程度上证实了理论预测：在不同规模报酬制度下，系统是否呈现收敛或爆炸性增长？

主要发现

• 在经典模型中，当n < 1（规模报酬递减）时，无论初始条件如何，资本-劳动比均收敛至稳定稳态，其精确解由指数函数与幂函数构成。
• 在经典模型中，当n > 1（规模报酬递增）时，资本-劳动比表现出与初始资本水平无关的指数增长，源于规模报酬递增的加速效应。
• 在冯·贝塔兰菲模型中，当n < 1时，资本-劳动比初期迅速下降，随后转入指数增长，其动态对初始值高度敏感。
• 在冯·贝塔兰菲模型中，当n > 1时，资本-劳动比在早期阶段强烈依赖初始条件，随后呈现指数增长，表明存在延迟但持续的加速效应。
• 冯·贝塔兰菲模型中α = 1时的精确解涉及超几何函数₂F₁，表明非恒定规模报酬与S型劳动动态共同导致数学复杂性。
• 数值模拟表明，与经典模型相比，冯·贝塔兰菲模型通过引入有限劳动上限，缓和了规模报酬递增与递减情形之间的差异，暗示其具有稳定化效应。