[论文解读] Exact Solutions of General Relativity and Quadratic Gravity in Arbitrary Dimension

Tomáš Málek|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 99被引用 6

一句话总结

本论文通过广义Kerr–Schild（xKS）度规和Brinkmann翘曲积，研究了高维广义相对论与二次引力理论中的精确解。论文建立了高维Weyl张量的代数分类，推导了二次引力中真空解的条件，并指出仅当有效宇宙学常数存在时，Weyl类型为N或III(B)的爱因斯坦时空才满足场方程；而零辐射项则要求Kundt类几何结构以保证一致性。

ABSTRACT

In the first part of this thesis, Kerr-Schild metrics and extended Kerr-Schild metrics are analyzed in the context of higher dimensional general relativity. Employing the higher dimensional generalizations of the Newman-Penrose formalism and the algebraic classification of spacetimes based on the existence and multiplicity of Weyl aligned null directions, we establish various geometrical properties of the Kerr-Schild congruences, determine compatible Weyl types and in the expanding case discuss the presence of curvature singularities. We also present known exact solutions admitting these Kerr-Schild forms and construct some new ones using the Brinkmann warp product. In the second part, the influence of quantum corrections consisting of quadratic curvature invariants on the Einstein-Hilbert action is considered and exact vacuum solutions of these quadratic gravities are studied in arbitrary dimension. We investigate classes of Einstein spacetimes and spacetimes with a null radiation term in the Ricci tensor satisfying the vacuum field equations of quadratic gravity and provide examples of these metrics.

研究动机与目标

• 将Kerr–Schild形式化推广至高维时空，并分析其几何与代数性质。
• 将Newman–Penrose形式化与Weyl张量代数分类推广至任意维度，以研究曲率结构。
• 研究二次曲率不变量对Einstein–Hilbert作用量的影响，并推导二次引力中的精确真空解。
• 识别哪些爱因斯坦时空及含零辐射的时空在任意维度下满足二次引力的场方程。
• 利用Brinkmann翘曲积构造新精确解，并验证其与二次引力约束的一致性。

提出的方法

• 采用高维版Newman–Penrose形式化，分析Kerr–Schild时空中零测地线族与Weyl张量代数类型。
• 基于Weyl对齐零方向（WANDs）的代数分类，确定高维中相容的Weyl张量类型。
• 应用Brinkmann翘曲积构造，从已知的四维解生成新精确解。
• 通过在Einstein–Hilbert作用量中加入Gauss–Bonnet及其他二次曲率不变量，推导二次引力的场方程。
• 施加光学约束，并分析Weyl张量的r-依赖性，以检测扩张xKS时空中的曲率奇点。
• 利用与零辐射对齐的Ricci张量对解进行分类，并推导与二次引力相容的约束条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些高维时空可表示为广义Kerr–Schild形式？其几何与代数性质为何？
• RQ2 高维中Weyl张量的代数类型如何约束Kerr–Schild与扩展Kerr–Schild时空的结构？
• RQ3 在高维中，满足二次引力真空场方程的爱因斯坦时空需满足何种条件？
• RQ4 Ricci张量中的零辐射项在确定二次引力解类时起何作用？
• RQ5 Brinkmann翘曲积构造能否生成与二次引力场方程相容的新精确解？

主要发现

• 仅当有效宇宙学常数Λ由B=0确定时，Weyl类型为N或III(B)的爱因斯坦时空才满足二次引力的真空场方程。
• 类型为III(A)的爱因斯坦时空（包括Ricci平坦的pp-波）除非存在零辐射项，否则不满足二次引力的场方程。
• Ricci张量中具有对齐零辐射的时空必须属于Kundt类，才能成为二次引力的解，且约束条件B=0决定了有效宇宙学常数。
• 五维最小规范超引力中的带电旋转CCLP黑洞为Weyl类型I_i，而无电荷的Myers–Perry黑洞可化为广义Kerr–Schild形式，且为D型。
• 构造了Λ=0与Λ≠0的二次引力显式解，表明在非临界情形下，零辐射项Φ与真空Kerr–Schild函数H_vac的方程可实现解耦。
• 与爱因斯坦情形不同，二次引力中可能存在Ricci张量含零辐射的III(A)型解，表明解空间得到了非平凡的扩展。