[论文解读] Exact solutions of infinite dimensional total-variation regularized problems

Axel Flinth, Pierre Weiss|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2017

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 37被引用 28

一句话总结

本文证明了在无限维巴拿赫空间中，总变差正则化的反问题始终存在 m-稀疏解，其中 m 为测量次数，并提出一种通过一个或两个有限维凸规划求解精确解的方法，无需离散化。关键结果是在对测量算子施加弱假设的条件下，解为最多在 m 个点上支撑的原子测度。

ABSTRACT

We study the solutions of infinite dimensional linear inverse problems over Banach spaces. The regularizer is defined as the total variation of a linear mapping of the function to recover, while the data fitting term is a near arbitrary convex function. The first contribution is about the solu-tion's structure: we show that under suitable assumptions, there always exist an m-sparse solution, where m is the number of linear measurements of the signal. Our second contribution is about the computation of the solution. While most existing works first discretize the problem, we show that exacts solutions of the infinite dimensional problem can be obtained by solving two consecutive finite dimensional convex programs. These results extend recent advances in the understanding of total-variation reg-ularized problems.

研究动机与目标

• 表征巴拿赫空间上无限维总变差正则化反问题解的结构。
• 开发一种不依赖离散化的数值方法，用于计算此类问题的精确解。
• 将现有关于超分辨率和广义样条的结果推广至更广泛的线性算子和定义域类别。
• 建立解为 m-稀疏（即最多在 m 个点上支撑）的条件。
• 提供一种可应用于先前限制性设定之外的构造性证明技术，例如 R^d 上的平稳算子。

提出的方法

• 利用巴拿赫空间中的对偶性和算子理论，对解的结构进行理论分析。
• 基于伴随测量泛函的值域，通过构造性方法证明 m-稀疏解的存在性。
• 推导出对偶问题的公式化形式，将无限维问题约化为有限维凸规划。
• 识别出允许在无需离散化的情况下恢复精确解的测量函数条件（例如，三角多项式、分段线性函数）。
• 使用广义逆（Moore-Penrose 逆）和投影算子，刻画解空间及其支撑。
• 将理论应用于分析型与重构型公式，其中重构型是分析型问题的特例。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，无限维总变差正则化反问题存在 m-稀疏解？
• RQ2 能否在不离散化原始无限维问题的情况下计算精确解？
• RQ3 测量泛函的结构（例如，三角多项式、分段线性函数）如何影响问题的可解性？
• RQ4 解的结构在多大程度上可超越先前关于平稳算子或有界定义域的结果进行推广？
• RQ5 线性算子 L 在决定解的稀疏性与支撑方面起什么作用？

主要发现

• 在对线性算子 L 和数据拟合项施加弱假设的条件下，总变差正则化反问题始终存在 m-稀疏解，其中 m 为测量次数。
• 解的结构特征在于 Lû 是一个最多在 m 个点上支撑的原子测度。
• 通过求解一个或两个连续的有限维凸规划，可以计算出无限维问题的精确解，具体取决于测量函数的结构。
• 该方法避免了离散化，从而规避了网格依赖性收敛和数值伪影等问题。
• 该方法适用于一大类算子 L，包括 BV 空间上的微分算子以及更一般的线性映射。
• 证明方法具有构造性，并将先前关于广义样条和超分辨率的结果推广至更一般的定义域和算子。