[论文解读] Exact solutions of open integrable quantum spin chains

Enej Ilievski|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2014

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 2被引用 12

一句话总结

本文提出了一种精确的解析框架，通过矩阵乘积态（MPS）假设，用于在开放可积量子自旋链中构建非平衡稳态（NESS）。通过结合杨-巴克斯方程的量子可积性与林德布拉德耗散边界项，利用密度矩阵的楚列斯基分解为转移矩阵，严格证明了其对易性，该对易性通过无限维R-矩阵得以确立。关键贡献在于识别出伪局域广延守恒量，从而解释了可积系统中的反常输运行为。

ABSTRACT

In the thesis we present an analytic approach towards exact description for steady state density operators of nonequilibrium quantum dynamics in the framework of open systems. We employ the so-called quantum Markovian semi-group evolution, i.e. a general form of time-autonomous positivity and trace-preserving dynamical equation for reduced density operators, by only allowing unitarity-breaking dissipative terms acting at the boundaries of a system. Such setup enables to simulate macroscopic reservoirs for different values of effective thermodynamic potentials, causing incoherent transitions between quantum states which are modeled with aid of the Lindblad operators. This serves as a simple minimalistic model for studying quantum transport properties, either in the linear response domain or in more general regimes far from canonical equilibrium. We are mainly exploring possibilities of identifying nonequilibrium situations which are amenable to exact description within matrix product state representation, by exclusively focusing on steady states, i.e. fixed points of the Lindblad equation, of certain prototypic interacting integrable spin chains driven by incoherent polarizing processes. Finally, we define a concept of pseudo-local extensive almost-conserved quantities by allowing a violation of time-invariance up to boundary-localized terms. We elucidate the role of such quantities on non-ergodic behaviour of temporal correlation functions rendering anomalous transport properties. It turns out that such conservation laws can be generated by means of boundary universal quantum transfer operators of the fundamental integrable models.

研究动机与目标

• 开发一种精确的解析方法，用于在具有边界耗散的开放量子自旋链中构建非平衡稳态（NESS）。
• 建立量子可积性、林德布拉德主方程与NESS的矩阵乘积态（MPS）表示之间的系统性联系。
• 识别并表征解释可积系统中非遍历行为与反常输运的伪局域守恒量。
• 通过探索融合、退化极限与非半单李代数，将该框架推广至基础模型之外。
• 探讨该方法是否可扩展至稳态之外，实现Liouvillian谱的完全可解性。

提出的方法

• 采用带有边界耗散项的林德布拉德主方程，以模拟被驱动至非平衡态的开放量子系统。
• 利用杨-巴克斯方程与量子群的法德耶夫–雷舍蒂欣–塔赫塔詹实现，构造Liouvillian的酉部分。
• 推导出萨瑟兰方程作为固定点条件下控制酉演化的基本代数机制。
• 通过求解解耦的边界相容性方程，将耗散率与底层对称代数的表示参数关联起来。
• 将NESS密度矩阵的楚列斯基因子构造为一个抽象可积量子系统的转移矩阵。
• 通过显式构造一个无限维R-矩阵，证明转移矩阵的对易性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有边界耗散的开放可积量子自旋链中系统性地构建精确的非平衡稳态？
• RQ2 NESS中矩阵乘积态结构的代数起源是什么？
• RQ3 伪局域守恒量如何从边界通用量子转移算符中涌现？它们在反常输运中扮演何种角色？
• RQ4 该框架是否可推广至非基本可积模型（如由融合或退化极限产生的模型）？
• RQ5 是否可能将该方法推广至稳态之外，实现Liouvillian谱的完全可解性？

主要发现

• NESS密度矩阵的楚列斯基因子与一个抽象可积量子系统的转移矩阵完全一致，其对易性通过显式构造无限维R-矩阵得到严格证明。
• 对于易错的海森伯自旋-1/2链，基于杨-巴克斯方程与萨瑟兰方程，从第一性原理推导出精确的NESS解，边界相容条件将耗散率与对称性表示参数联系起来。
• 在自旋-1的SU(3)-不变Lai–Sutherland模型中，利用通过两个玻色自由度与一个复自旋自由度实现的非半单李代数，构造了退化的NESS，U(1)对称性使得在化学势平衡下可实现广义系综。
• 伪局域广延守恒量通过仅在边界局域项中允许时间不变性破缺而定义，这些项在高温热力学极限下趋于可忽略。
• 这些伪局域荷由基本量子空间与韦尔马模上的最高权量子转移矩阵生成，其微分并非对谱参数进行，而是对紧邻极小权态附近的解析表示参数进行。
• 该框架表明，离散空间Lax表示可能已足够描述体相，从而为如四面体可积性等替代方法打开大门，尽管在处理非基本模型与Liouvillian完全可解性方面仍存在挑战。