[论文解读] Exact triangles in Seiberg-Witten Floer theory. Part IV: Z-graded monopole homology

Matilde Marcolli, Bai‐Ling Wang|ArXiv.org|Sep 15, 2000

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用 9

一句话总结

本文通过利用Chern-Simons-Dirac泛函对Zℓ-graded的Seiberg-Witten-Floer同调进行整数提升，为b₁ > 0的3-流形构造了Z-graded的单极子同调，特别针对在同调球面上对扭结进行0-德林手术得到的流形Y₀。该构造证明了所得的Z-graded同调群在ℓ-平移下满足直和分解，从而在Seiberg-Witten-Floer理论中实现了精确三角形的构造，并解决了单极子Floer同调手术公式中的问题。

ABSTRACT

Some aspects of the construction of SW Floer homology for manifolds with non-trivial rational homology are analyzed. In particular, the case of manifolds that are obtained as zero-surgery on a knot in a homology sphere, and for torsion spinc structures. We discuss relative invariants in the case of torsion spinc structures.

研究动机与目标

• 解决在b₁ > 0的3-流形中，Seiberg-Witten-Floer理论精确三角形中出现的Z-graded单极子同调的歧义。
• 为同调球面上扭结的0-德林手术流形Y₀定义Zℓ-graded Seiberg-Witten-Floer同调的规范整数提升。
• 通过精确三角形构造，利用原流形Y的分次结构，建立Z-graded单极子同调。
• 在Spin^c结构的第一次陈类为挠的情况下，利用Z[[t]]系数的Novikov复形将理论推广。

提出的方法

• 通过在规范等价类空间的无限循环覆叠上选取Chern-Simons-Dirac泛函的正则值ω，构造Z-graded链复形C*^(ω)(Y₀, s)。
• 通过泛函的提升定义临界点指标的整数提升，形成具有明确定义边界算子的Z-graded链复形。
• 证明Zℓ-graded复形的谱序列收敛到原始的Zℓ-graded同调，且E¹项通过ω-提升同构于Z-graded同调。
• 通过Y₀上单极子模空间与Y上相对模空间之间的一一对应映射j，利用精确三角形诱导的分次结构，构造另一种Z-graded同调。
• 在挠类情况下，引入Z[[t]]系数的Novikov复形以处理扰动中非平凡的上同调类，确保边界算子的明确定义。
• 利用Seiberg-Witten单极子的粘合理论，将4-流形不变量与3-流形Floer同调联系起来，特别是在Σg × S¹的情形下。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将b₁ > 0的3-流形的Zℓ-graded Seiberg-Witten-Floer同调规范地提升为Z-graded理论？
• RQ2 通过ω-提升构造的Z-graded同调与原始的Zℓ-graded同调之间的确切关系是什么？
• RQ3 Seiberg-Witten-Floer理论中的精确三角形如何约束0-德林手术流形Y₀上的Z-graded结构？
• RQ4 当Spin^c结构的第一次陈类为挠时，Z-graded单极子同调能否被一致地定义？
• RQ5 谱序列在连接ω-提升的Z-graded复形与原始的Zℓ-graded同调之间起到什么作用？

主要发现

• Z-graded单极子同调HF_{*,(ω)}^{SW}(Y₀, s)被构造为Z-graded链复形C*^(ω)(Y₀, s)的同调，其谱序列收敛到原始的Zℓ-graded同调。
• 该谱序列的E¹项同构于HF_{*,(ω)}^{SW}(Y₀, s)，若所有高阶微分消失，则有HF_m^{SW}(Y₀, s) = ⨁_{n∈Z} HF_{m+nℓ, (ω)}^{SW}(Y₀, s)。
• 通过精确三角形构造的另一种Z-graded同调中，分次由原流形Y的分次拉回，得到HF_n^{SW}(Y₀, s) = ⨁_{k∈Z} HF_{n+kℓ}^{SW}(Y₀, s)。
• 在挠类情形下，只有在将均匀能量的分量分离后，边界算子才能明确定义，此时需使用Z[[t]]系数的Novikov复形。
• 在Σg × S¹（平凡Spin^c结构）的例子中，HF^{SW}_{Γ,*}(Σg × S¹, s₀; Q((t))) ≅ H_*(Sym^{g-1}(Σ), Q) ⊗ Q((t))，且对环面情形有具体计算：HF^{SW}_{Γ,*}(T² × S¹, s₀; Q((t))) ≅ Q((t))。
• 对于T² × D²，相对Seiberg-Witten不变量计算为SW_{T²×D²}(s₀,1) = 1/(t - t⁻¹)，且仅对度数为1的类有非零不变量。