[论文解读] Exactness of Cuntz-Pimsner C*-algebras

Ken Dykema, Dimitri Shlyakhtenko|ArXiv.org|Nov 2, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用 20

一句话总结

本文证明了与C*-代数A上的全希尔伯特C*-双模相关的陈-平斯纳代数是精确的，当且仅当A是精确的。作者利用此结果，为精确C*-代数的约化合并自由积的精确性提供了新的证明，并进一步表明当基代数为有限维时，此类代数上的博格留布诺夫自同构具有零拓扑熵。

ABSTRACT

Let H be a full Hilbert bimodule over a C*-algebra A. We show that the Cuntz-Pimsner C*-algebra associated to H is exact if and only if A is exact. Using this result, we give alternative proofs for exactness of reduced amalgamated free products of exact C*-algebras. In the case that A is a finite dimensional C*-algebra, we also show that the Brown-Voiculescu topological entropy of Bogljubov automorphisms of the Cuntz-Pimsner algebra associated to an A,A Hilbert bimodule is zero.

研究动机与目标

• 建立陈-平斯纳代数精确性的表征，以基C*-代数的精确性为条件。
• 利用陈-平斯纳代数的精确性，为精确C*-代数的约化合并自由积的精确性提供新的证明。
• 研究当基代数为有限维时，陈-平斯纳代数上博格留布诺夫自同构的拓扑熵。
• 扩展对算子代数中拓扑熵的理解，特别是与自由积和自同构的关系。

提出的方法

• 利用希尔伯特C*-双模的结构及其相关的陈-平斯纳代数构造，将代数的精确性与基C*-代数的精确性联系起来。
• 对与双模相关的福克空间的有限维子双模应用压缩论证，使用投影和完全正收缩。
• 构建理想链，并利用精确性在有限维商上的压缩下保持不变的事实。
• 利用扩展的陈-平斯纳代数与约化合并自由积之间的同构关系，将自由积嵌入到陈-平斯纳代数中。
• 利用基代数的有限维性，限制福克空间上算子C*-代数的秩，确保熵估计的次指数增长。
• 通过完全正映射及其范数的定义应用拓扑熵，利用当秩以次指数方式增长时熵为零的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，希尔伯特C*-双模的陈-平斯纳代数是精确的？
• RQ2 能否利用陈-平斯纳代数的精确性，重新证明精确C*-代数的约化合并自由积的精确性？
• RQ3 当基代数为有限维时，陈-平斯纳代数上博格留布诺夫自同构的拓扑熵是多少？
• RQ4 福克空间及其有限维子模的结构如何与自同构的熵相关？
• RQ5 基C*-代数的精确性是否为相关陈-平斯纳代数精确性的必要且充分条件？

主要发现

• 与C*-代数A上全希尔伯特C*-双模相关的陈-平斯纳代数是精确的，当且仅当A是精确的。
• 精确C*-代数的约化合并自由积的精确性，作为相应陈-平斯纳代数精确性的推论而成立。
• 当基C*-代数为有限维时，陈-平斯纳代数的每个博格留布诺夫自同构的拓扑熵为零。
• 通过证明有限维福克空间上算子C*-代数的秩随迭代次数次指数增长，表明拓扑熵为零。
• 将约化自由积嵌入陈-平斯纳代数中，使得自由积情形的精确性得以用新方法证明。
• 在福克空间的有限维子空间上构造投影和完全正收缩，使得通过秩界估计熵成为可能。