[论文解读] Examining posterior propriety in the Bayesian analysis of capture-recapture models

Arjun M. Gopalaswamy, Mohan Delampady|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2016

Census and Population Estimation参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文挑战了在捕获-再捕获模型中广泛采用尺度先验的做法，认为后验不 proper 的问题——此前归因于离散均匀先验——在使用高效似然函数（如 $M_0$ 和 $M_h$）时很少成为问题。通过使用大 O 符号分析后验分布的渐近行为，作者推导出新的 proper 后验定理，表明在现实生态似然函数下，一般可确保后验 proper。研究警告不应在缺乏领域特定验证的情况下盲目应用数学结果。

ABSTRACT

There lies a latent danger in utilizing some known mathematical results in ecology. Some results do not apply to the problem at hand. We identify one such trend. Based on a couple of theorems in mathematical statistics, Link (2013) cautions ecologists about the inappropriateness of using the discrete uniform prior in their analysis under certain conditions and instead recommends the routine use of the scale prior during analysis. This recommendation is been absorbed immediately and widely among ecologists. In this study, we consider the two fundamental capture-recapture models used widely in ecology, $M_0$ and $M_h$, and derive conditions for posterior propriety by examining the behavior of the right tail of the posterior distributions of animal population size $N$ in a Bayesian analysis. We demonstrate that both these likelihoods are far more efficient than the ones considered in Link (2013). We argue that no particularly prescriptive approach should be adopted by ecologists in regard to choosing priors of the fear of posterior impropriety. Instead, we recommend the efficient construction of likelihoods for the problem and data on hand, choosing priors based existing knowledge of a parameter of interest and encourage examining posterior propriety by asymptotic arguments as demonstrated in this study.

研究动机与目标

• 调查 Link (2013) 提出的后验 proper 怀疑是否适用于广泛使用的捕获-再捕获模型 $M_0$ 和 $M_h$。
• 评估 Kahn (1987) 和 York & Madigan (1992) 的数学结果在动物种群数量估计中的真实生态似然函数下的相关性。
• 通过分析当 $N \to \infty$ 时后验尾部的渐近行为，为 $M_0$ 和 $M_h$ 推导新的 proper 后验定理。
• 反对常规采用尺度先验，倡导基于似然函数的、情境特定的先验选择。
• 强调应通过渐近分析而非依赖广义数学结果来检验后验 proper 性。

提出的方法

• 通过考察当 $N \to \infty$ 时 $N$ 的后验分布右尾行为，推导后验 proper 的条件。
• 应用大 O 符号（来自复杂性理论）来刻画 $M_0$ 和 $M_h$ 模型中似然函数的渐近衰减速率。
• 将 $M_0$ 和 $M_h$ 的似然结构与 Kahn (1987) 和 York & Madigan (1992) 的结构进行比较，突出后者在结构上的低效性。
• 使用渐近论证表明，$M_0$ 和 $M_h$ 的似然函数远比基础论文中的更高效，从而降低不 proper 的风险。
• 通过分析数据增强参数 $M$ 对后验标准差和均值的影响，重新评估 Link (2013) 中提出的“贝叶斯麻木”现象。
• 主张从预设的先验规则（如尺度先验）转向基于模型的似然构造和通过渐近分析进行后验 proper 检查。

实验结果

研究问题

• RQ1 在标准生态条件下，离散均匀先验是否会导致 $M_0$ 和 $M_h$ 捕获-再捕获模型中后验不 proper？
• RQ2 与支撑 Link (2013) 建议的 Kahn (1987) 和 York & Madigan (1992) 的似然结构相比，$M_0$ 和 $M_h$ 的似然结构有何异同？
• RQ3 能否通过似然函数尾部行为的渐近分析，严格评估后验 proper 性？
• RQ4 为何 Link (2013) 中的尺度先验建议在某些 MCMC 实现中导致误导性推断？这是由于先验选择还是似然效率低下？
• RQ5 ‘贝叶斯麻木’现象在多大程度上是由于似然效率低下，而非先验不 proper 所致？

主要发现

• 与 Kahn (1987) 和 York & Madigan (1992) 的似然函数相比，$M_0$ 和 $M_h$ 的似然函数在渐近意义上更高效，从而降低了后验不 proper 的风险。
• 通过使用大 O 符号的渐近分析，确立了 $M_0$ 和 $M_h$ 的后验 proper 性，表明后验尾部衰减足够快，可确保可积性。
• Link (2013) 分析中，当 $M$ 增加时后验标准差的降低，很可能是由于尺度先验在 $\psi \approx 0.1$ 处集中，而非后验不 proper。
• 在标准生态假设下，离散均匀先验不会导致 $M_0$ 和 $M_h$ 中的后验不 proper，这与 Link (2013) 的泛化结论相矛盾。
• ‘贝叶斯麻木’现象更合理的解释是似然效率低下，而非先验选择问题，因为 Kahn 和 York & Madigan 的似然函数对捕获-再捕获数据的适配性较差。
• 生态学家应优先基于抽样机制构建高效似然函数，并通过渐近分析评估 proper 性，而非默认采用尺度先验。