[论文解读] Examples, Counterexamples, and Enumeration Results for Foldings and Unfoldings between Polygons and Polytopes

Erik D. Demaine, Martin L. Demaine+2 more|ArXiv.org|Jul 13, 2000

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 9被引用 14

一句话总结

本文研究了凸多边形与凸多面体之间的折叠与展开在组合与几何上的计数问题，利用 Aleksandrov 定理以及粘合/切割树来分析从一个多边形可形成多少种不同的多面体，反之亦然。研究结果表明，尽管凸多边形通过折叠可生成无限多种不同的多面体，但其组合上不同的粘合方式数量是多项式有界的；同时，某些简单多边形与多面体可存在指数级数量的折叠或展开方式。

ABSTRACT

We investigate how to make the surface of a convex polyhedron (a polytope) by folding up a polygon and gluing its perimeter shut, and the reverse process of cutting open a polytope and unfolding it to a polygon. We explore basic enumeration questions in both directions: Given a polygon, how many foldings are there? Given a polytope, how many unfoldings are there to simple polygons? Throughout we give special attention to convex polygons, and to regular polygons. We show that every convex polygon folds to an infinite number of distinct polytopes, but that their number of combinatorially distinct gluings is polynomial. There are, however, simple polygons with an exponential number of distinct gluings. In the reverse direction, we show that there are polytopes with an exponential number of distinct cuttings that lead to simple unfoldings. We establish necessary conditions for a polytope to have convex unfoldings, implying, for example, that among the Platonic solids, only the tetrahedron has a convex unfolding. We provide an inventory of the polytopes that may unfold to regular polygons, showing that, for n>6, there is essentially only one class of such polytopes.

研究动机与目标

• 理解通过周长粘合，一个多边形可以有多少种不同的方式折叠成一个凸多面体。
• 确定一个凸多面体可以有多少种不同的展开方式变为一个简单多边形。
• 分析在折叠与展开过程中，凸多边形与正多边形的约束条件与组合结构。
• 建立组合上不同的折叠与展开方式数量的上下界，特别是针对凸与正多边形的情况。
• 研究凸展开方式的存在性与结构，特别是针对柏拉图立体与正多边形。

提出的方法

• 应用 Aleksandrov 定理，通过确保在标识点处的局部角度和条件，来表征多边形折叠为凸多面体的有效性。
• 引入切割树与粘合树作为组合模型，分别表示展开与折叠的结构。
• 利用几何距离不等式与最短路径论证，排除多面体展开中无效的边候选。
• 通过对称性与顶点标记（例如带撇与不带撇的顶点）分析正多边形与皮塔多面体。
• 应用极值组合学，推导出不同粘合与切割方式数量的上下界。
• 利用三角不等式与内接正多边形的性质，比较弦长并排除非最短测地线。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个凸多边形可以有多少种组合上不同的折叠方式（粘合方式）折叠成一个凸多面体？
• RQ2 通过折叠单个凸多边形，可以形成多少种几何上不同的多面体？
• RQ3 一个凸多面体最多可以有多少种不同的展开方式变为一个简单多边形？
• RQ4 哪些凸多面体具有凸展开方式，其必须满足何种结构条件？
• RQ5 有多少种不同的多面体可以展开为一个正多边形，对于 n > 6 的情况，可能的类别有哪些？

主要发现

• 每个凸多边形都可以折叠成无限多种不同的多面体，但其组合上不同的粘合方式数量有限，对于凸多边形，其上界为 O(n³)。
• 存在一些简单多边形，其具有指数级数量的组合上不同的粘合方式，具体为 2^Ω(n) 种不同的折叠方式。
• 某些多面体可产生指数级数量的不同的切割方式，从而生成简单多边形的展开，其下界为 2^Ω(n)。
• 在柏拉图立体中，只有正四面体具有凸展开方式，这是由于对锐利顶点与组合结构的必要条件。
• 对于 n > 6，仅存在一个类别使得多面体可以展开为正 n 边形，而正多边形仅有两类这样的情况。
• 皮塔多面体——通过具有对称粘合方式折叠正多边形形成——具有唯一确定的三角剖分口部结构，其边与对角线受最短路径与对称性论证的约束。