[论文解读] Examples of Calabi-Yau threefolds parametrised by Shimura varieties

Alice Garbagnati, Bert van Geemen|arXiv (Cornell University)|May 4, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用 10

一句话总结

本文给出了卡拉比-丘三fold的显式例子，其模空间为希米勒流形（Shimura varieties），特别是由三阶自同构族所导出的球面商（ball quotients）。研究证明这些族不具有最大单极单值性（maximally unipotent monodromy），这是标准镜像对称理论中的关键特征，同时提出一种通过霍奇结构分解与酉群在复球面上的作用来推导其皮卡德-富克斯方程的方法。

ABSTRACT

These are notes from talks of the authors on some explicit examples of families of Calabi-Yau threefolds which are parametrised by a Shimura variety. We briefly review the periods of Calabi-Yau threefolds and we discuss a recent result on Picard-Fuchs equations for threefolds which are hypersurfaces with many automorphisms. Next various examples of families parametrised by Shimura varieties are given. Most of these are due to J.C. Rohde. The examples with an automorphism of order three are given in some detail. We recall that such families do not have maximally unipotent monodromy and that the Shimura varieties in these cases are ball quotients.

研究动机与目标

• 构建卡拉比-丘三fold的显式族，其模空间为希米勒流形，特别是球面商。
• 分析这些族中缺乏最大单极单值性的现象，挑战标准镜像对称理论的假设。
• 通过三阶自同构，提供模空间的几何与霍奇理论描述。
• 通过将三fold的霍奇结构与具有自同构的曲线模空间关联，显式推导其中一族的皮卡德-富克斯方程。
• 证明CM点在模空间中稠密，从而增强对霍奇结构的控制。

提出的方法

• 使用博尔恰-瓦伊辛（Borcea-Voisin）型构造，从具有自同构的K3曲面与椭圆曲线构造卡拉比-丘三fold。
• 利用K3曲面与高亏格曲线上的三阶自同构作用，诱导出具有特征空间分解的霍奇结构。
• 应用酉群 $ U(1,q) $ 参数化 $ F^2 $ 上的霍奇分解，从而得到复 $ q $-球面作为模空间。
• 通过在 $ F^2 $ 上定义符号为 $ (1+, q-) $ 的埃尔米特型 $ H $ 表达霍奇结构，其中 $ V^{3,0} $ 由满足 $ H(w',w') > 0 $ 的向量 $ w' $ 张成。
• 通过归一化 $ w_0 = 1 $，将 $ V^{3,0} $ 参数化为单位球面 $ b{B}^q $ 上的点，从而获得具体的模空间描述。
• 通过‘半扭转’（half twist）构造，将三fold的霍奇结构与底层曲线及K3曲面的霍奇结构联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出具有三阶自同构的卡拉比-丘三fold族，使其模空间为希米勒流形？
• RQ2 此类族是否不表现出最大单极单值性？若如此，对镜像对称理论有何影响？
• RQ3 能否利用霍奇理论数据显式推导此类族的皮卡德-富克斯方程？
• RQ4 在这些构造中，卡拉比-丘三fold、高亏格曲线与K3曲面之间存在何种几何关系？
• RQ5 CM点在这些卡拉比-丘三fold的模空间中在何种程度上是稠密的？

主要发现

• 具有三阶自同构的卡拉比-丘三fold的模空间是一个复 $ q $-球面，作为赫米特对称域 $ U(1,q)/(U(1) \times U(q)) $ 实现。
• 这些族不具有最大单极单值性，表明其偏离标准镜像对称理论框架。
• 当 $ q = 4 $ 时，所得卡拉比-丘三fold 的霍奇数为 $ h^{1,1} = 40 $，$ h^{2,1} = 4 $，由一个三阶自同构固定一个有理曲线与四个点的K3曲面构造而成。
• 当 $ q = 5 $ 时，三fold 的 $ h^{1,1} = 29 $，由一个定义为在 $ b{P}^3 $ 中的二次曲面的三重覆盖的奇异K3曲面构造而成，分支曲线具有四个 $ A_1 $ 奇点。
• 通过将霍奇结构参数化为单位球面 $ b{B}^q $ 并利用归一化 $ w_0 = 1 $，显式写出其中一族的皮卡德-富克斯方程。
• 该构造表明，罗赫德（Rohde）的卡拉比-丘三fold 是两个固定椭圆曲线与一个具有三阶自同构的高亏格曲线的乘积的商的解析化。