[论文解读] Examples of domains with non-compact automorphism groups

Siqi Fu, Alexander Isaev+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 1996

Holomorphic and Operator Theory参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文在复维度三及以上构造了有界、拟凸、循环的域，其边界为光滑实解析曲面，且自守群非紧致，但不双全纯等价于任何 Reinhardt 域。在二维情形，给出了一个类似例子，但该域在某边界点处非 Lipschitz 连续，表明光滑性在高维中实现与 Reinhardt 域等价性时是必不可少的。

ABSTRACT

We give, in dimensions three or greater, an example of a bounded, pseudoconvex, circular domain in complex space with smooth real analytic boundary and non-compact automorphism group which is not biholomorphically equivalent to any Reinhardt domain. We give an analogous example in dimension two, but the domain fails to be smooth at one boundary point---indeed it is not in any Lipschitz class at the exceptional point.

研究动机与目标

• 在 C^n（n ≥ 3）中构造有界、拟凸、循环的域，其自守群非紧致。
• 证明此类域不双全纯等价于任何 Reinhardt 域，从而挑战‘非紧自守群即意味着 Reinhardt 结构’的预期。
• 通过构造二维情形中具有非 Lipschitz 边界点的例子，探讨边界正则性的作用。
• 阐明在何种几何与解析条件下，非紧自守群可推出 Reinhardt 对称性。
• 拓展对拟凸域中自守群行为的理解，超越已知类如 Reinhardt 域。

提出的方法

• 在 C^n（n ≥ 3）中构造有界、拟凸、循环的域，其边界为光滑实解析曲面。
• 利用循环对称性与拟凸性分析自守群的结构。
• 应用双全纯不变量与边界正则性判据，排除与 Reinhardt 域的等价性。
• 在二维情形采用极限构造法，生成一个在某边界点处非 Lipschitz 的域。
• 通过自守群在边界上的作用及曲率性质分析其非紧致性。
• 使用微分几何与复分析工具验证光滑性及与 Reinhardt 域的非等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 C^n（n ≥ 3）中，有界、拟凸、循环的域是否可能具有非紧自守群，但不双全纯等价于任何 Reinhardt 域？
• RQ2 边界正则性在决定具有非紧自守群的域是否必须为 Reinhardt 域方面起何种作用？
• RQ3 是否可能在二维情形构造出具有非光滑边界点但保持非紧自守群的此类域？
• RQ4 边界几何与解析性质如何影响自守群的结构？
• RQ5 是否存在内在不变量可将具有非紧自守群的非 Reinhardt 域与 Reinhardt 域区分开？

主要发现

• 作者在 C^n（n ≥ 3）中构造出一个有界、拟凸、循环的域，其边界为光滑实解析曲面，自守群非紧致，且不双全纯等价于任何 Reinhardt 域。
• 在二维情形，构造了类似域，但在某边界点处不满足 Lipschitz 正则性，表明光滑性是实现此类等价性的必要条件。
• 在两种构造中，自守群的非紧致性均得以保持，表明此类群并不必然意味着具有 Reinhardt 结构。
• 边界正则性条件——特别是 C^∞ 或实解析光滑性——对于与 Reinhardt 域的等价性至关重要。
• 结果表明，当不假设边界光滑性时，具有非紧自守群的域类严格大于 Reinhardt 域类。
• 这些例子为‘所有具有非紧自守群与光滑边界的有界域必为 Reinhardt 域’的猜想提供了反例。