[论文解读] Examples of flag-wise positively curved spaces

Ming Xu|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2016

Advanced Differential Geometry Research参考文献 8被引用 3

一句话总结

本论文利用基于卡灵导航的摄动技术，在紧致李群及其齐性空间上构造了旗-wise正曲率的芬斯勒度量。证明了任意具有平凡中心的紧致非交换李群均具备此类度量，且更一般地，所有紧致单连通齐性空间 $G/H$ 及其 $S^1$-乘积也均具备旗-wise正曲率的芬斯勒度量，其中许多度量是非齐次的。

ABSTRACT

A Finsler space $(M,F)$ is called flag-wise positively curved, if for any $x\in M$ and any tangent plane $\mathbf{P}\subset T_xM$, we can find a nonzero vector $y\in \mathbf{P}$, such that the flag curvature $K^F(x,y, \mathbf{P})>0$. Though compact positively curved spaces are very rare in both Riemannian and Finsler geometry, flag-wise positively curved metrics should be easy to be found. A generic Finslerian perturbation for a non-negatively curved homogeneous metric may have a big chance to produce flag-wise positively curved metrics. This observation leads our discovery of these metrics on many compact manifolds. First we prove any Lie group $G$ such that its Lie algebra $\mathfrak{g}$ is compact non-Abelian and $\dim\mathfrak{c}(\mathfrak{g})\leq 1$ admits flag-wise positively curved left invariant Finsler metrics. Similar techniques can be applied to our exploration for more general compact coset spaces. We will prove, whenever $G/H$ is a compact simply connected coset space, $G/H$ and $S^1 imes G/H$ admit flag-wise positively curved Finsler metrics. This provides abundant examples for this type of metrics, which are not homogeneous in general.

研究动机与目标

• 构造满足旗-wise正曲率条件（FP）的新例子，该条件弱于整体正曲率。
• 通过证明在中心较小的紧致非阿贝尔李群上存在此类度量，解决先前工作中问题4.4。
• 将构造方法推广至一般紧致单连通齐性空间 $G/H$ 及其 $S^1$-乘积。
• 证明对非负曲率齐次度量进行典型的芬斯勒摄动，即可产生旗-wise正曲率度量。
• 表明此类度量丰富多样，且不一定是齐次的，从而扩展了已知例子的类别。

提出的方法

• 使用卡灵导航技术，对紧致李群上的左不变或正规齐次芬斯勒度量进行摄动。
• 在单位球丛 $\mathcal{S}M$ 上应用单位分解，以粘合通过导航定义的局部芬斯勒度量。
• 在开集 $\mathcal{U}_i$ 上利用小范数的卡灵向量场构造局部芬斯勒度量 $\tilde{F}_{i;\epsilon}$。
• 通过光滑单位分解确保全局度量 $F_\epsilon = \sum \mu_i F_{i;\epsilon}$ 保持正定性。
• 依赖旗曲率公式 $K^F(x,y,\mathbf{P}) = \frac{\langle R_y v, v \rangle_y^F}{\|y\|_y^2 \|v\|_y^2 - \langle y,v \rangle_y^2}$ 验证正性。
• 使用拓扑论证（例如，通过与余维数为一的球面相交的有限个圆的矛盾）确保每个切平面均与旗曲率为正的区域相交。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在满足 $\dim \mathfrak{c}(\mathfrak{g}) \leq 1$ 的紧致非阿贝尔李群上构造旗-wise正曲率的芬斯勒度量？
• RQ2 所有紧致单连通齐性空间 $G/H$ 是否都具备旗-wise正曲率的芬斯勒度量？
• RQ3 能否在不依赖齐次性的情况下构造此类度量，从而扩展至已知齐次例子之外？
• RQ4 对非负曲率度量进行典型的芬斯勒摄动是否足以实现旗-wise正曲率条件？
• RQ5 $S^1$-乘积构造是否能保持旗-wise正曲率性质？

主要发现

• 任意具有 $\dim \mathfrak{c}(\mathfrak{g}) \leq 1$ 的紧致非阿贝尔李群均具备左不变的旗-wise正曲率芬斯勒度量。
• 对任意紧致单连通齐性空间 $G/H$，其本身及 $S^1 \times G/H$ 均具备旗-wise正曲率的芬斯勒度量。
• 所构造的度量不一定是齐次的，表明此类度量在齐次类之外也极为丰富。
• 在每个切平面上，对典型切向量旗曲率保持正，从而全局满足（FP）条件。
• 该构造依赖于在球丛上使用卡灵导航与单位分解相结合的精心设计的粘合过程。
• 该方法确保全局度量保持为芬斯勒度量（Hessian 正定），同时通过局部摄动实现旗-wise正曲率。