[论文解读] Examples of group actions which are virtually W*-superrigid

Jesse Peterson|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 29被引用 32

一句话总结

本文通過證明在特定條件下——例如群 Γ 屬於類 𝒞（容許進入 C₀ 表示的無界 cocycle）且包含關係 $B \subset B\rtimes\Gamma$ 從下方具有 Haagerup 性質——任何群-測度空間 von Neumann 代數之間的同構必須保持 Cartan 子代數至多單位共軛。關鍵結果是此類作用為幾乎 W*-超剛性，即 W*-等價意味著軌道等價，且 Cartan 子代數在共軛意義下唯一。

ABSTRACT

We show that if G is a discrete group which does not have the Haagerup property but does have an unbounded cocycle into a C_0 representation and if G acts on a finite von Neumann algebra B such that the inclusion B \subset (B times G) has the Haagerup property from below then any group-measure space Cartan subalgebra must have a corner which embeds into B inside B times G. Taking the action to be trivial we produce examples of II_1 factors N such that N \otimes M is not a group-measure space construction whenever M is a finite factor with the Haagerup property. Taking the action on a probability space with the Haagerup property from below we produce examples of von Neumann algebras which have unique group-measure space Cartan subalgebras. Taking profinite actions of certain products of groups we use the unique Cartan decomposition theorem of N. Ozawa and S. Popa and the cocycle superrigidity theorem of A. Ioana to produce actions which are virtually W*-superrigid.

研究动机与目标

• 識別群-測度空間構造為幾乎 W*-超剛性的條件，即 W*-等價意味著軌道等價。
• 在特定分析與幾何約束下，建立由群作用產生的 II₁ 因子中 Cartan 子代數的唯一性。
• 透過構造 W*-等價迫使軌道等價的作用，彙整 OE-超剛性與 W*-超剛性之間的差距。
• 運用交錯技巧與從下方出發的 Haagerup 性質，證明 Cartan 子代數必須彼此嵌入，進而導出單位共軛。

提出的方法

• 利用 Sauvageot 理論，將可閉導子與完全正規變形相連接，以分析包含關係中的從下方出發的 Haagerup 性質。
• 應用 Popa 的基本交錯技術，證明若一個 Cartan 子代數的角落嵌入另一個，則它們在周圍因子中單位共軛。
• 運用 Ozawa 和 Popa 的唯一 Cartan 分解定理以及 Ioana 的 cocycle 超剛性定理，構造具有唯一 Cartan 子代數的作用。
• 分析有限 von Neumann 代數上的群作用，其中包含關係 $B \subset B\rtimes\Gamma$ 從下方具有 Haagerup 性質，特別是當 Γ 属於類 𝒞 但不具備 Haagerup 性質時。
• 利用若 $N = L^\infty(X,\mu)\rtimes\Gamma$ 不具備 Haagerup 性質，則任何同構的群-測度空間構造都必須使 Cartan 子代數的角落嵌入原始代數的事實。
• 應用定理 5.3 推導出：若 $N$ 不具備 Haagerup 性質，則 $L^\infty(Y,\nu)$ 的角落必須嵌入 $L^\infty(X,\mu)$，進而透過唯一性結果導出單位共軛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，群作用在概率空間上為幾乎 W*-超剛性，即 W*-等價意味著軌道等價？
• RQ2 何時群-測度空間構造具有在單位共軛意義下的唯一 Cartan 子代數？
• RQ3 包含關係 $B \subset B\rtimes\Gamma$ 從下方具有 Haagerup 性質，是否能確保任何同構的群-測度空間構造都必須保持 Cartan 子代數？
• RQ4 進入 C₀ 表示的無界 cocycle 如何與 Haagerup 性質互動，以在 von Neumann 代數中強制剛性？
• RQ5 非 Haagerup 群與具有 Haagerup 性質的包含關係的組合能否產生 W*-超剛性？

主要发现

• 若 $\Gamma \in \mathcal{C}$，不具備 Haagerup 性質，且包含關係 $B \subset B\rtimes\Gamma$ 從下方具有 Haagerup 性質，則任何同構的群-測度空間構造都必須使其中的 Cartan 子代數單位共軛於原始代數。
• 對於平凡作用，當 $M$ 為具有 Haagerup 性質的有限因子時，$N \overline{\otimes} M$ 永遠不是群-測度空間構造，顯示 $N$ 不與任何此類構造 W*-等價。
• 當作用為有限型且 $\Gamma$ 為具有無界 cocycle 的群的乘積時，唯一 Cartan 分解定理與 cocycle 超剛性可導出幾乎 W*-超剛性。
• 包含關係 $A \subset N$ 從下方具有 Haagerup 性質，當且僅當 $N$ 具備 Haagerup 性質且 $\Gamma$ 具備 Haagerup 性質。
• 若 $N = L^\infty(Y,\nu)\rtimes\Lambda \cong L^\infty(X,\mu)\rtimes\Gamma$ 且 $\Gamma$ 不具備 Haagerup 性質，則 $L^\infty(Y,\nu)$ 的角落必須在 $N$ 內嵌入 $L^\infty(X,\mu)$，進而導出單位共軛。
• 在具有唯一 Cartan 子代數的 $II_1$ 因子中，W*-等價意味著軌道等價，且作用透過 Ioana [11] 的定理 A 相共軛。