[论文解读] Examples of $H$-hypersurfaces in $H^n \ imes R$ and geometric applications

Pierre Bérard, Ricardo Sá Earp|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 6

一句话总结

该论文通过旋转和移动对称性，在乘积空间 $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}$ 中构造了常平均曲率（CMC）超曲面的显式例子。它对满足 $0 < H \leq \frac{n-1}{n}$ 的旋转 $H$-超曲面进行了分类，证明了在整个垂直图像和嵌入圆柱体的存在性，并在非平均凸区域上构造了完备的非整体图像。此外，利用这些结果作为屏障，证明了在平行截面中具有边界条件的垂直 $H$-图像和紧致 $H$-超曲面的存在性、对称性和唯一性结果。

ABSTRACT

In this paper we describe all rotation $H$-hypersurfaces in $H^n \ imes R$ and use them as barriers to prove existence and characterization of certain vertical $H$-graphs and to give symmetry and uniqueness results for compact $H$-hypersurfaces whose boundary is one or two parallel submanifolds in slices. We also describe examples of translation $H$-hypersurfaces in $H^n \ imes R$. For $n&gt;2$ we obtain a complete embedded translation hypersurface generated by a compact, simple, strictly convex curve. When $0 &lt; H &lt; \\frac{n-1}{n}$ we obtain a complete non-entire vertical graph over the non-mean convex domain bounded by an equidistant hypersurface taking infinite boundary value data and infinite asymptotic boundary value data.

研究动机与目标

• 对常平均曲率 $H > 0$ 的 $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 中的旋转 $H$-超曲面进行分类。
• 构造平移 $H$-超曲面的例子，包括完备的嵌入曲面和非整体垂直图像。
• 利用旋转 $H$-超曲面作为屏障，建立在平行截面中具有边界的垂直 $H$-图像和紧致 $H$-超曲面的存在性和唯一性结果。
• 将二维 CMC 超曲面的结果推广到高维 $n \geq 2$。

提出的方法

• 利用通量公式推导旋转 $H$-超曲面的平均曲率方程，并求解生成曲线 $\lambda(\rho)$ 的相应常微分方程。
• 引入辅助函数 $I_m(t)$、$M_{H,d}(t)$、$P_{H,d}(t)$ 和 $Q_{H,d}(t)$，以分析常微分方程解的存在性和行为。
• 应用垂直通量公式 $\Delta_M h_M = n \widehat{g}(\overrightarrow{H}, \partial_t)$，推导控制旋转 $H$-超曲面的关键微分方程。
• 利用旋转 $H$-超曲面的几何分类，证明在平行截面中具有边界的紧致 $H$-超曲面的对称性和唯一性结果。
• 通过在平移不变性下求解常平均曲率方程，构造完备的平移 $H$-超曲面，得到嵌入曲面和非整体图像。
• 利用旋转 $H$-超曲面 $\mathcal{S}_H$ 作为屏障，证明在有界区域上垂直 $H$-图像的存在性和表征。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $0 < H \leq \frac{n-1}{n}$，$\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 中的旋转 $H$-超曲面的完整分类及其几何性质是什么？
• RQ2 能否在 $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 中构造完备的平移 $H$-超曲面，其几何特征是什么？
• RQ3 旋转 $H$-超曲面如何作为屏障，用于证明在平行截面中具有边界的垂直 $H$-图像和紧致 $H$-超曲面的存在性和唯一性？
• RQ4 当 $H = \frac{n-1}{n}$ 时，旋转 $H$-超曲面的高度函数的渐近行为如何？
• RQ5 在非平均凸区域上，当边界为无穷且具有渐近边界数据时，何时存在完备的非整体垂直图像？

主要发现

• 当 $0 < H \leq \frac{n-1}{n}$ 时，存在完备的单连通旋转 $H$-超曲面 $\mathcal{S}_H$，其为 $\mathbb{H}^n$ 上的整体垂直图像。
• 当 $H = \frac{n-1}{n}$ 时，$\mathcal{S}_H$ 的高度函数的渐近行为为指数型，且仅依赖于维度 $n \geq 3$。
• 当 $n \geq 3$ 且 $H = \frac{n-1}{n}$ 时，由紧致、简单、严格凸的曲线生成的完备嵌入平移超曲面存在。
• 当 $0 < H < \frac{n-1}{n}$ 时，存在一个在由等距超曲面 $\Gamma$ 所围成的非平均凸区域上的完备非整体垂直图像，其在 $\Gamma$ 上具有无穷边界值数据和无穷渐近边界值数据。
• 旋转 $H$-超曲面 $\mathcal{S}_H$ 可作为屏障，用于证明在适当有界区域上垂直 $H$-图像的存在性和表征，其中 $0 < H \leq \frac{n-1}{n}$。
• 在给定的几何约束下，证明了在一条或两条平行截面中具有边界的紧致 $H$-超曲面具有对称性和唯一性。