[论文解读] Examples of infinite dimensional Banach spaces without infinite equilateral sets

E. Glakousakis, Sophocles Mercourakis|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2015

Advanced Banach Space Theory参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文构建了一个具有无条件基的无限维可分巴拿赫空间，该空间不与 $\ell_1$ 的子空间同构，且不包含无限等边集。通过在具有 1-无条件基的有限维巴拿赫空间的直和上使用递归范数构造，作者将特伦齐的方法加以改进，证明此类空间可被重新赋范以排除等边序列，从而提供了超越 $\ell_1$ 的新例子。关键贡献在于将特伦齐的结果推广至具有大于 2 的余类型且非 $\ell_1$ 的空间。

ABSTRACT

An example of an infinite dimensional and separable Banach space is given, that is not isomorphic to a subspace of l1 with no infinite equilateral sets.

研究动机与目标

• 将特伦齐关于不包含无限等边集的巴拿赫空间的构造方法，从 $\ell_1$ 推广至其他无限维空间。
• 证明存在具有无条件基的可分巴拿赫空间，其不与 $\ell_1$ 的子空间同构，但仍不包含无限等边集。
• 将基于有限维分量的递归归纳范数定义方法推广至构造此类空间。
• 确立具有余类型 $>2$ 的空间可通过重新赋范避免等边序列，即使其不与 $\ell_1$ 同构。

提出的方法

• 在取值于有限维巴拿赫空间 $(X_n)$ 的有限支集序列空间 $c_{00}((X_n))$ 上定义一个递归范数 $\|\cdot\|$，通过最后一项的加权平均与前缀范数的组合实现。
• 证明所诱导的范数满足不等式 $\sum_{n=1}^m (1 - \frac{1}{n+1})\|x_n\|_n \leq \| (x_1,\dots,x_m) \| \leq \sum_{n=1}^m \|x_n\|_n$，从而保证与原始 $\ell_1$-直和范数等价。
• 将空间完备化以形成巴拿赫空间 $X$，证明其与原始空间 $Z = (\sum_{n=1}^\infty \oplus X_n)_1$ 2-同构，从而保持关键几何性质。
• 在第 5 步使用归纳矛盾法证明不存在无限等边集：假设存在此类集合，并导出新范数下三角不等式被违反的矛盾。
• 将构造应用于 $X_n = \ell_p^n$ 且 $p > 2$ 的情形，确保所得空间的余类型 $\geq p > 2$，从而排除其与 $\ell_1$ 同构的可能性。
• 利用关于余类型与 $\ell_1$ 嵌入的已知结果，证明所构造的空间不与 $\ell_1$ 的子空间同构，同时仍避免等边序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 特伦齐关于构造不包含无限等边集的巴拿赫空间的方法，能否推广至 $\ell_1$ 以外的其他无限维空间？
• RQ2 是否存在具有无条件基的可分巴拿赫空间，其不与 $\ell_1$ 的子空间同构，但仍不包含无限等边集？
• RQ3 余类型在重新赋范的 $\ell_1$-直和有限维空间中等边集的存在性或非存在性中起何种作用？
• RQ4 在具有 1-无条件基的巴拿赫空间的 $\ell_1$-直和上，基于递归与归纳定义的范数构造，能否产生不包含等边序列的空间？
• RQ5 能否在保持无限等边集缺失的前提下，构造余类型 $>2$ 的此类空间？

主要发现

• 本文通过在递归范数构造中取 $X_n = \ell_p^n$ 且 $p > 2$，构建了一个具有无条件基的可分巴拿赫空间 $X$，其不与 $\ell_1$ 的任何子空间同构。
• 所构造的空间 $X$ 允许一个等价范数，使得其中不存在无限等边集，从而将特伦齐的结果从 $\ell_1$ 推广至非 $\ell_1$ 空间。
• 空间 $X$ 的余类型 $\geq p > 2$，而 $\ell_1$ 的余类型为 2，因此根据余类型与类型的标准结果，$X$ 不可能与 $\ell_1$ 的子空间同构。
• 证明依赖于第 5 步的矛盾论证：假设存在无限等边集将导致新范数下三角不等式被违反。
• 递归范数构造确保向量的范数严格小于其各分量范数之和，从而防止等边构型的出现。
• 该方法成功地将特伦齐的方法从一维分量推广至具有 1-无条件基的高维分量，从而产生关于无限等边集存在性的新反例。