[论文解读] Examples of interacting particle systems on $\mathbb{Z}$ as Pfaffian point processes II - coalescing branching random walks and annihilating random walks with immigration

Barnaby Garrod, Roger Tribe+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文证明了在 $ℤ$ 上，共alescing 和 branching 的随机游走，以及具有成对移民的 annihilating 随机游走，在任意确定性的初始条件下，于所有固定时间均为 Pfaffian 点过程。通过扩散标度，推导出在 $ℝ$ 上的极限 Pfaffian 点过程，包括布朗运动网络的点集过程。

ABSTRACT

Two classes of interacting particle systems on $\mathbb{Z}$ are shown to be Pfaffian point processes at fixed times, and for all deterministic initial conditions. The first comprises coalescing and branching random walks, the second annihilating random walks with pairwise immigration. Various limiting Pfaffian point processes on $\mathbb{R}$ are found by diffusive rescaling, including the point set process for the Brownian net.

研究动机与目标

• 建立 $ℤ$ 上特定相互作用粒子系统在固定时间下为 Pfaffian 点过程。
• 在一般确定性初始条件下分析共alescing 与 branching 随机游走的结构。
• 研究具有成对移民的 annihilating 随机游走及其 Pfaffian 性质。
• 通过扩散标度推导 $ℝ$ 上的极限 Pfaffian 点过程。
• 确认极限点过程即为布朗运动网络的点集过程。

提出的方法

• 使用 Pfaffian 关联函数刻画固定时间下粒子位置的联合分布。
• 应用对偶性与矩生成函数技术推导 Pfaffian 结构。
• 采用扩散标度极限方法，将离散粒子系统与 $ℝ$ 上的连续过程相联系。
• 通过收敛性分析，将极限点过程识别为布朗运动网络的点集过程。
• 借助关于布朗运动网络的已知结果，验证极限结构的正确性。
• 运用组合与代数技巧处理关联函数中 Pfaffian 行列式结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任意确定性初始条件下，$ℤ$ 上的共alescing 与 branching 随机游走是否为 Pfaffian 点过程？
• RQ2 具有成对移民的 annihilating 随机游走是否可在固定时间下描述为 Pfaffian 点过程？
• RQ3 这些系统在扩散标度下会涌现出何种极限 Pfaffian 点过程？
• RQ4 极限过程是否对应于布朗运动网络的点集过程？
• RQ5 Pfaffian 关联函数在标度极限下如何表现？

主要发现

• 在任意确定性初始配置下，$ℤ$ 上的共alescing 与 branching 随机游走，在所有固定时间均为 Pfaffian 点过程。
• 具有成对移民的 $ℤ$ 上 annihilating 随机游走，在固定时间下亦为 Pfaffian 点过程。
• 对这些系统进行扩散标度后，可得到 $ℝ$ 上的极限 Pfaffian 点过程。
• 共alescing 与 branching 随机游走系统在极限下的过程收敛于布朗运动网络的点集过程。
• Pfaffian 结构在标度极限下保持不变，证实了极限点过程的普遍性。
• 极限过程的关联函数可通过特定核矩阵的 Pfaffian 显式描述。