[论文解读] Examples of metric spaces with asymptotic property $C$

Yan Wu, Jingming Zhu|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2019

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文构建了具有任意大超限渐近维数和互补有限渐近维数的度量空间，具体表明对于任意 $k ∈ \mathbb{N}$，存在两个维度均为 $\omega + k$ 的空间，以及一个维度为 $2\omega$ 的空间。此外，通过构造示例表明渐近维数增长与超限渐近维数是独立不变量，即使在超限维数固定时，两者之间也存在增长速度的差异。

ABSTRACT

We construct a class of metric spaces whose transfinite asymptotic dimension and complementary-finite asymptotic dimension are both $ω+k$ for any $k\in\mathbb{N}$, where $ω$ is the smallest infinite ordinal number and a metric space whose transfinite asymptotic dimension and complementary-finite asymptotic dimension are both $2ω$. Moreover, we study the relationship between asymptotic dimension growth, transfinite asymptotic dimension and finite decomposition complexity.

研究动机与目标

• 为任意 $k \in \mathbb{N}$ 构造具有超限渐近维数 $\omega + k$ 的度量空间，扩展了关于无限维度量空间的先前结果。
• 构造一个具有超限渐近维数 $2\omega$ 的度量空间，解决了关于中间无限维数的长期悬而未决的问题。
• 通过显式反例证明渐近维数增长与超限渐近维数及有限分解复杂性之间的独立性。
• 证明对于任意无界递增函数 $g$，存在一个度量空间 $X_{\omega}(g)$，使得 $\text{trasdim}(X_{\omega}(g)) = \omega$ 且对所有 $r > 0$ 有 $ad_{X_{\omega}(g)}(r) \geq g(r)$。
• 确立渐近维数增长并不控制超限渐近维数或有限分解复杂性，即使后者为有限时亦然。

提出的方法

• 通过将缩放后的整数格点 $(2^{\tilde{g}(i)}\mathbb{Z})^{g(i)}$ 的粗分离并集进行构造，得到 $X_{\omega}(g)$，其中 $\tilde{g}(r)$ 的选取使得每个分量的渐近维数为 $g(r)$。
• 通过 $\mathcal{D}_\alpha$-分解的概念分析超限渐近维数，证明 $X_{\omega}(g) \in \mathcal{D}_\omega$ 但不属于任何 $\mathcal{D}_n$（$n$ 为有限整数），从而推出 $\text{trasdim}(X_{\omega}(g)) = \omega$。
• 空间 $Y_{2\omega}$ 被构造为 $X_{\omega}(g)$ 的缩放副本的粗分离并集，通过仔细调节维度，实现 $\text{trasdim}(Y_{2\omega}) = 2\omega$ 且 $\text{coasdim}(Y_{2\omega}) = 2\omega$。
• 通过分析 $ad_X(r)$ 的增长速率来估计渐近维数增长，表明其可被调节至任意大，同时保持 $\text{trasdim}(X) = \omega$。
• 通过比较 $ad_{X_{\omega}(g)}(r)$ 与 $ad_{Y_{2\omega}}(r)$ 的增长关系证明独立性，表明对所有 $r > 0$ 有 $ad_{X_{\omega}(g)}(r) > ad_{Y_{2\omega}}(r)$，而 $\text{trasdim}(Y_{2\omega}) = 2 \cdot \text{trasdim}(X_{\omega}(g))$。
• 证明依赖于 $\ell^\infty$-型空间中的覆盖论证，以及使用 $r$-分离且一致有界的族来控制维数增长与超限分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为任意 $k \in \mathbb{N}$ 构造具有超限渐近维数 $\omega + k$ 的度量空间？
• RQ2 是否存在具有超限渐近维数 $2\omega$ 的度量空间？若存在，能否显式构造？
• RQ3 渐近维数增长是否控制超限渐近维数？二者是否为独立不变量？
• RQ4 能否构造一个度量空间，使其渐近维数增长任意大，同时保持超限渐近维数为 $\omega$？
• RQ5 即使在超限维数固定时，有限分解复杂性是否仍与渐近维数增长独立？

主要发现

• 对任意 $k \in \mathbb{N}$，存在一个度量空间 $X_{\omega+k}$，其超限渐近维数与互补有限渐近维数均恰好为 $\omega + k$。
• 存在一个度量空间 $Y_{2\omega}$，满足 $\text{trasdim}(Y_{2\omega}) = \text{coasdim}(Y_{2\omega}) = 2\omega$，这是首次显式构造出此类空间。
• 对任意无界递增函数 $g: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{Z}^+$，存在一个度量空间 $X_{\omega}(g)$，使得 $\text{trasdim}(X_{\omega}(g)) = \omega$ 且对所有 $r > 0$ 有 $ad_{X_{\omega}(g)}(r) \geq g(r)$。
• 存在一个度量空间 $X_{\omega}(g)$，使得对所有 $r > 0$ 有 $ad_{X_{\omega}(g)}(r) > ad_{Y_{2\omega}}(r)$，尽管 $\text{trasdim}(Y_{2\omega}) = 2 \cdot \text{trasdim}(X_{\omega}(g))$，从而证明渐近维数增长与超限维数之间存在独立性。
• $X_{\omega}(g)$ 属于 $\mathcal{D}_\omega$ 但不属于任何 $\mathcal{D}_n$（$n$ 为有限整数），确认 $\text{trasdim}(X_{\omega}(g)) = \omega$，并表明 $\mathcal{D}_\omega$ 抓住了正确的分解复杂度层级。
• 结果表明渐近维数增长与有限分解复杂性是独立不变量，通过构造示例证明：当一个量快速增长时，另一个可保持有界或缓慢增长。