[论文解读] Examples of non-formal closed $(k-1)$-connected manifolds of dimensions $4k-1$ and more

Alex N. Dranishnikov, Yuli B. Rudyak|ArXiv.org|Jun 20, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用 8

一句话总结

该论文构建了维度 $\geq 4k-1$ 的闭 $(k-1)$-连通流形，其具有非平凡的有理 Massey 三重积，从而证明其非形式化。通过在欧氏空间中对映射柱和正规邻域进行 PL 嵌入，作者构造出所有 $k$-维上积为零但 $H^{3k-1}(-;\mathbb{Q})$ 由 Massey 积生成的流形，为大波几何提供了关键示例。

ABSTRACT

We construct closed $(k-1)$-connected manifolds of dimensions $\ge 4k-1$ that possess non-trivial rational Massey triple products. We also construct examples of manifolds $M$ such that all the cup-products of elements of $H^k(M)$ vanish, while the group $H^{3k-1}(M;\Q)$ is generated by Massey products: such examples are useful for theory of systols.

研究动机与目标

• 构建维度 $\geq 4k-1$ 的闭 $(k-1)$-连通流形，使其具有非平凡的有理 Massey 三重积。
• 提供所有 $H^k(M)$ 中上积为零，但 $H^{3k-1}(M;\mathbb{Q})$ 由 Massey 积生成的流形示例。
• 证明 Miller 对维度 $\leq 4k-2$ 的 $(k-1)$-连通流形的形式性结果是最优的。
• 为这类流形提供一种直接且简洁的构造方法，特别是对 $k=2$ 的情形，优于先前的方法。

提出的方法

• 使用径向集和双重映射柱，将映射 $f: S^{3k-2} \to \vee_{i=1}^3 S^k$ 的锥嵌入 $\mathbb{R}^{4k}$。
• 在 $\mathbb{R}^N$ 中构造嵌入复形 $X$ 的正规邻域 $W$，其边界为 $V = \partial W$。
• 通过证明所有维度小于 $k$ 的球面在 $V$ 中同伦于圆盘，来证明 $V$ 是 $(k-1)$-连通的。
• 利用庞加莱对偶性和对 $(W, V)$ 的长正合列，将 $V$ 的上同调与 $X$ 的同调联系起来。
• 应用双重映射柱的 PL 嵌入结果，确保 $X$ 嵌入 $\mathbb{R}^N$ 且 $N \geq 4k$。
• 定义一个形变收缩 $r: W \to X$，并分析诱导映射 $g^*: H^*(X) \to H^*(V)$，以研究边界流形上的 Massey 积。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造维度 $\geq 4k-1$ 的闭 $(k-1)$-连通流形，使其具有非平凡的有理 Massey 三重积？
• RQ2 是否存在所有 $k$-维上积为零，但 $H^{3k-1}(M;\mathbb{Q})$ 由 Massey 积生成的流形？
• RQ3 Miller 对维度 $\leq 4k-2$ 的 $(k-1)$-连通流形的形式性结果是否紧致？
• RQ4 能否以一种直接且简洁的方式构造此类例子，特别是对 $k=2$ 的情形？
• RQ5 该构造能否推广至例外维度 $5k-2$ 和 $6k-3$？

主要发现

• 对每个 $k$，均存在维度 $\geq 4k-1$ 的闭 $(k-1)$-连通流形，其具有非平凡的有理 Massey 三重积，从而证明其非形式化。
• 当 $N \geq 4k$ 时，$\mathbb{R}^N$ 中 $k$-维复形 $X$ 的正规邻域 $W$ 的边界 $V = \partial W$ 是 $(k-1)$-连通的。
• 当 $N \neq 5k-1, 6k-2, 6k-1$ 时，边界流形 $M = \partial W$ 的上同调群 $H^{3k-1}(M;\mathbb{Q})$ 由 Massey 积生成。
• 当 $N \neq 4k$ 时，$H^k(M)$ 中的所有上积为零，这是由于 $i^*: H^k(W) \to H^k(M)$ 的满射性以及 $H^{2k}(W)$ 的消失。
• 当 $N \neq 5k-1, 6k-2, 6k-1$ 时，Massey 积 $\langle g^*\alpha_m, g^*\alpha_{m+1}, g^*\alpha_{m+2} \rangle$（$m=1,2,3,4$）构成 $H^{3k-1}(M;\mathbb{Q})$ 的一组基。
• 对于例外维度 $5k-2$ 和 $6k-3$，通过对 $W$ 取双重或与球面取积，可得到满足所需性质的流形。