[论文解读] Examples of topological spaces with arbitrary cohomology jump loci

Botong Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文通过基于洛朗多项式的几何构造，在任意给定度数 $k$ 下，构建了具有任意预设上同调跳跃点集的有限 CW 复形。关键结果表明，对于任意定义在 $\mathbb{Z}$ 上的子簇 $Z \subset (\mathbb{C}^*)^n$ 和任意 $k$，均存在一个有限 CW 复形 $M$，使得 $\Sigma^k(M) = Z \cup \{\mathds{1}\}$，且所有低阶跳跃点集均为平凡，从而表明拟射影簇面临真正的高阶同伦障碍。

ABSTRACT

Given any subvariety of a complex torus defined over $\mathbb{Z}$ and any positive integer $k$, we construct a finite CW complex $X$ such that the $k$-th cohomology jump locus of $X$ is equal to the chosen subvariety, and the $i$-th cohomology jump loci of $X$ are trivial for $i

研究动机与目标

• 将任意给定复环面的子簇实现为某个有限 CW 复形的第 $k$ 个上同调跳跃点集。
• 证明光滑复拟射影簇的上同调跳跃点集受高阶同伦型约束，而不仅受拓扑结构约束。
• 提供一个自包含的空间构造方法，以实现预设的特征簇，从而推广文献中已知的结果。
• 证明当 $Z$ 不是子环面的扭平移的并集时，此类例子不与任何拟射影簇同伦 $k$-等价。

提出的方法

• 从实环面 $M_0 = (S^1)^n$ 出发，将一个 $k$-球面在基点处粘合，形成 $M_1$，从而诱导出一个具有 $\mathbb{Z}^n$-作用的万有覆盖 $N_1$。
• 对每个定义目标子簇 $Z$ 的洛朗多项式 $f_i$，在 $N_1$ 上粘合 $(k+1)$-胞腔，使得其边界在 $H_k(N_1, \mathbb{Z})$ 中代表由 $f_i$ 的系数确定的循环。
• 通过在所有 $\mathbb{Z}^n$-平移中相容地粘合这些胞腔，构造总覆盖 $N_2$，并保持伽罗瓦作用。
• 通过 $\mathbb{Z}^n$-作用的商构造 $M$，得到一个有限 CW 复形，其基本群满足 $\pi_1(M) \cong \mathbb{Z}^n$，因此 $L(M) \cong (\mathbb{C}^*)^n$。
• 利用群环 $\mathbb{Z}[x_1, x_1^{-1}, \dots, x_n, x_n^{-1}]$ 上的亚历山大多项式计算上同调跳跃点集，通过模块 $\mathrm{Alex}(G_3) \cong \mathrm{Alex}(G_2) \otimes_R R/(f_1, \dots, f_r)$ 的支集实现。
• 证明该模块的支集恰好为 $Z$，因此 $\Sigma^k(M) = Z \cup \{\mathds{1}\}$，且由于 $N_1$ 的 $(k-1)$-连通性，低阶跳跃点集为平凡。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意 $k \geq 1$，能否将任意定义在 $\mathbb{Z}$ 上的子簇 $Z \subset (\mathbb{C}^*)^n$ 实现为某个有限 CW 复形的第 $k$ 个上同调跳跃点集？
• RQ2 阻止一个具有预设上同调跳跃点集的空间与某个拟射影簇同伦等价的同伦理论障碍是什么？
• RQ3 亚历山大多项式结构在洛朗多项式环上的作用如何编码所构造空间的上同调跳跃点集？
• RQ4 在度数 $k \geq 2$ 下，上同调跳跃点集在多大程度上依赖于空间的同伦型？
• RQ5 该构造能否推广至包含有限交换群在 $L(M)$ 中的情形，而不仅限于复环面的情形？

主要发现

• 对于任意定义在 $\mathbb{Z}$ 上的子簇 $Z \subset (\mathbb{C}^*)^n$ 和任意 $k \geq 1$，均存在一个有限 CW 复形 $M$，使得 $\Sigma^k(M) = Z \cup \{\mathds{1}\}$，且对所有 $i < k$，有 $\Sigma^i(M)$ 为平凡。
• 所构造的空间 $M$ 同伦等价于实环面 $(S^1)^n$ 的 $(k-1)$-型，但当 $Z$ 不是子环面的扭平移的并集时，其不与任何拟射影簇同伦 $k$-等价。
• 上同调跳跃点集 $\Sigma^k(M)$ 恰好是定义 $Z$ 的洛朗多项式 $f_1, \dots, f_r$ 的零点集，这通过亚历山大多项式 $\mathrm{Alex}(G_3)$ 的支集得到证明。
• 亚历山大多项式 $\mathrm{Alex}(G_3)$ 同构于 $\mathrm{Alex}(G_2) \otimes_R R/(f_1, \dots, f_r)$，其中 $R = \mathbb{Z}[x_1, x_1^{-1}, \dots, x_n, x_n^{-1}]$，其支集恰好为 $Z$。
• 通过将 $M_0$ 替换为 $M_0 \times Y$（其中 $Y$ 是有限交换群 $A$ 的 $K(A,1)$-空间），并相应调整群环，该构造可推广至包含 $L(M)$ 中的有限交换群。
• 结果确认了拟射影簇的上同调跳跃点集受高阶同伦型的约束，因为所构造的例子满足点集条件，但无法与任何拟射影簇同伦 $k$-等价。