[论文解读] Exceptional Lie groups

Ichiro Yokota|ArXiv.org|Feb 3, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 81

一句话总结

本文通过代数与几何方法，提供了对单连通紧致例外李群 G2、F4、E6、E7 和 E8 的全面且初等的构造。系统地确定了它们的对合自同构、固定点子群（对应于对称空间）、最大幂次最大子群以及非紧致实形式，建立了诸如 (SU(5) × SU(5))/Z5 ≅ (E8)z5 的同构关系，以及非紧致形式的极分解。

ABSTRACT

We describe simply connected compact exceptional simple Lie groups in very elementary way. We first construct all simply connected compact exceptional Lie groups G concretely. Next, we find all involutive automorphisms of G, and determine the group structures of the fixed points subgroup. They correspond to the classification of all irreducible compact symmetric spaces of exceptional type, and that they also correspond to classification of all non-compact exceptionalsimple Lie groups. Finally, we determined the group structures of the maximal subgroups of maximal rank. At any rate, we would like this book to be used in mathematics and physics.

研究动机与目标

• 提供一个自包含的、初等的单连通紧致例外李群 G2、F4、E6、E7 和 E8 的构造。
• 对这些群的所有对合自同构进行分类，并确定其固定点子群的结构，对应于不可约紧致对称空间。
• 确定每个例外群中最大幂次最大子群的群结构。
• 通过对偶对称空间与极分解，对例外李群的非紧致实形式进行分类。
• 建立子群与已知经典群之间的显式同构关系，例如 (SU(5) × SU(5))/Z5 ≅ (E8)z5。

提出的方法

• 通过凯莱代数及其自同构群构造 G2，利用八元数乘法与三重性。
• 通过凯莱代数上 3×3 厄米特矩阵的例外约当代数构造 F4。
• 通过凯莱代数上的弗罗本纽斯三重系统与弗罗本纽斯向量空间构造 E6 和 E7。
• 将 E8 构造为 248 维复李代数 e8C 的自同构群，该代数被实现为 sl(5,C) 与旋量类模的直和。
• 应用卡灵形式与根系分析证明单性并确定卡坦子代数。
• 利用群作用与自同构（例如阶为 5 的 z5）识别固定点子群，并证明其与经典群的同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 单连通紧致例外李群 G2、F4、E6、E7、E8 的显式群结构是什么？
• RQ2 这些群的所有对合自同构是什么？其固定点子群的同构类型是什么？
• RQ3 如何显式描述并分类这些群中最大幂次最大子群的结构？
• RQ4 例外李群的非紧致实形式是什么？它们如何通过对称空间对偶性产生？
• RQ5 E8 中一个五次单位根自同构的中心化子的结构是什么？它与 SU(5) × SU(5) 的关系如何？

主要发现

• 群 (E8)z5，即 E8 中阶为 5 的自同构 z5 的中心化子，同构于 (SU(5) × SU(5))/Z5，其中 Z5 是由 (ζE, ζ2E) 等生成的循环子群。
• 非紧致实形式 E8(8) 和 E8(−24) 具有极分解：E8(8) ≃ Ss(16) × R128 且 E8(−24) ≃ (SU(2) × E7)/Z2 × R112。
• E8(8) 与 E8(−24) 的中心均为平凡，证实其作为非紧致实形式的单性。
• E8 中阶为 3 的自同构 w 固定一个同构于 (SU(3) × E6)/Z3 的子群，而 w3（阶为 3）固定 SU(9)/Z3。
• E8 中阶为 5 的自同构 z5 固定一个同构于 (SU(5) × SU(5))/Z5 的子群，通过在李代数 e8C 上的共轭作用显式实现。
• e8C 上的卡灵形式被显式计算为 B8(R1, R2) = 60(tr(C1C2) + tr(D1D2) − (x1,w2)(a1,d2) − ...)，确认了紧致形式的归一化。