[论文解读] Exceptional points in nonlinear and stochastic dynamics

Cheyne Weis, Michel Fruchart+4 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2022

stochastic dynamics and bifurcation被引用 4

一句话总结

本文在非线性和随机动力系统中引入了广义异常点（EPs），其中极限环等扩展吸引子在分岔过程中发生合并。研究发现，这种合并表现为协变李雅普诺夫向量（CLVs）的相切以及李雅普诺夫指数的消失，揭示了非互惠动力学、增强的噪声敏感性以及等相线的破坏，其应用涵盖生态、神经和物理系统。

ABSTRACT

We study a class of bifurcations generically occurring in dynamical systems with non-mutual couplings ranging from models of coupled neurons to predator-prey systems and non-linear oscillators. In these bifurcations, extended attractors such as limit cycles, limit tori, and strange attractors merge and split in a similar way as fixed points in a pitchfork bifurcation. We show that this merging and splitting coincides with the coalescence of covariant Lyapunov vectors with vanishing Lyapunov exponents, generalizing the notion of exceptional points to non-linear dynamical systems. We distinguish two classes of bifurcations, corresponding respectively to continuous and discontinuous behaviors of the covariant Lyapunov vectors at the transition. We outline some physical consequences of generalized exceptional points on the dynamics of the system, including non-reciprocal responses, the destruction of isochrons, and enhanced sensitivity to noise. We illustrate our results with concrete examples from neuroscience, ecology, and physics. When applied to interpret existing experimental observations, our analysis suggests a simple explanation for the non-trivial phase delays observed in the population dynamics of plankton communities and the recently measured statistics of rotation reversals for a solid body immersed in a Rayleigh-Bénard convection cell.

研究动机与目标

• 识别并表征非互惠非线性动力系统中的分岔，其中扩展吸引子（如极限环、环面或奇异吸引子）发生合并与分裂。
• 建立此类吸引子合并与协变李雅普诺夫向量（CLVs）在零李雅普诺夫指数下相切之间的联系，将异常点概念从线性系统推广至更广范围。
• 区分非互惠系统中分岔点处CLV行为的连续与不连续转变，揭示不同的动力学区域。
• 探讨广义EPs带来的物理后果，如非互惠响应、等相线的破坏以及由广义EPs引发的增强噪声敏感性。
• 将该框架应用于真实世界系统，包括捕食者-猎物模型、神经振子和瑞利-贝纳德对流，以解释实验观测结果，如相位延迟和旋转反转统计。

提出的方法

• 使用具有非互惠（非对称）耦合的耦合微分方程建模非线性动力系统，例如具有非对称捕食耦合的四维捕食者-猎物系统。
• 通过沿周期轨道对变分方程进行时间平均数值积分，计算李雅普诺夫指数（LEs）和协变李雅普诺夫向量（CLVs）。
• 利用弗洛quet理论计算极限环一个周期内的单变量矩阵，然后对其进行对角化以提取LEs和特征向量，这些向量被映射到初始时刻的CLVs。
• 利用流映射追踪CLVs随时间的演化，并通过点积计算CLVs之间的夹角，以量化其对齐程度。
• 通过在一个周期内对 ⟨sin²θ₁₂(t)⟩ 进行时间平均，定义CLV对齐的度量，以检测分岔点处的广义EPs。
• 改变分岔参数 β（捕食耦合强度），分析LEs、CLV夹角和相位失配的变化，以识别临界行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 非线性动力系统中吸引子合并事件如何与协变李雅普诺夫向量及李雅普诺夫指数的行为相关联？
• RQ2 在非互惠系统中，分岔点处CLV对齐的连续与不连续转变有何区别？
• RQ3 由CLVs合并且李雅普诺夫指数消失所定义的广义异常点，如何影响系统对噪声的响应及其动力学稳定性？
• RQ4 广义EPs能否解释生态种群动力学中非平凡的相位延迟，例如在浮游生物群落中的现象？
• RQ5 广义EPs是否能解释瑞利-贝纳德对流胞中观测到的旋转反转统计规律？

主要发现

• 在四维捕食者-猎物模型中，当 β_c ≈ 0.02275 时发生分岔，单个极限环分裂为两个具有非零失配相位的稳定极限环。
• 在分岔点处，李雅普诺夫指数 λ₁ 和 λ₂ 均消失，证实了广义异常点的存在。
• 对应于零李雅普诺夫指数的两个CLVs之间的夹角 θ₁₂ 在 β_c 以下连续减小，而在 β_c 处发生不连续变化，表明CLV行为存在不连续转变。
• 当 β 从上方趋近 β_c 时，平均对齐度量 ⟨sin²θ₁₂⟩ 变得任意小，表明在整个极限环上CLVs几乎完全合并。
• CLVs之间的瞬时夹角 θ₁₂(t) 依赖于周期轨道上的位置，即使在远离分岔点的位置，其最小值也出现在特定相位。
• 两个生成的极限环表现出不对称的种群动力学：捕食者与猎物的角色在两个周期中互换，表明对称性被破坏且系统表现出非互惠行为。