[论文解读] Exceptional points of any order in a generalized Hatano-Nelson model

Julius T. Gohsrich, Jacob Fauman+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2024

Nonlinear Waves and Solitons被引用 4

一句话总结

本文提出了一种广义的 Hatano-Nelson 模型，引入长程跃迁，可在与系统尺寸无关的情况下实现任意阶次的本征点（EPs）。通过利用广义手征对称性和 $(l+r)$-分格子结构，作者证明了 EPs 对通用跃迁扰动和特定位置无序具有鲁棒性，且本征态局域在特定亚晶格上，表现出非厄米皮肤效应。

ABSTRACT

Exceptional points (EPs) are truly non-Hermitian (NH) degeneracies where matrices become defective. The order of such an EP is given by the number of coalescing eigenvectors. On the one hand, most work focuses on studying $N$th-order EPs in $(N\leq4)$-dimensional NH Bloch Hamiltonians. On the other hand, some works have remarked on the existence of EPs of orders scaling with systems size in models exhibiting the NH skin effect. In this work, we introduce a new type of EP and provide a recipe on how to realize EPs of arbitrary order not scaling with system size. We introduce a generalized version of the paradigmatic Hatano-Nelson model with longer-range hoppings. The EPs existing in this system show remarkable physical features: Their associated eigenstates have support on a subset of sites and exhibit the NH skin effect, which can be tuned to localize on the opposite end of the chain compared to all remaining states. Furthermore, the EPs are robust against generic perturbations in the hopping strengths as well as against a specific form of on-site disorder.

研究动机与目标

• 解决在有限维系统中缺乏系统性方法生成任意阶次非厄米本征点（EPs）的问题。
• 探讨本征点阶次不随系统尺寸增长而增长的出现机制，与单向模型中典型 EPs 形成对比。
• 确立广义手征对称性在固定阶次 EPs 中的作用，使其在任意系统尺寸下保持稳定。
• 研究 EPs 对跃迁扰动及特定亚晶格上位置无序的鲁棒性。
• 证明与 EPs 相关的本征态局域在部分格点上，并表现出非厄米皮肤效应。

提出的方法

• 将标准 Hatano-Nelson 模型推广，引入 $l$-格点左侧跃迁和 $r$-格点右侧跃迁，且满足 $\gcd(l,r) = 1$，以形成 $(l+r)$-分格子结构。
• 采用周期性边界条件（PBCs）分析谱缠绕和旋转对称性，从而将 EPs 固定在复能级平面旋转中心。
• 应用开放边界条件（OBCs）以观察非厄米皮肤效应，并观察本征态在特定亚晶格上的局域化。
• 通过广义特征向量构造 EPs 的若尔当链，并分析其在扰动下的稳定性。
• 引入通用跃迁扰动和特定亚晶格上的位置无序，以检验 EPs 的鲁棒性。
• 将完整哈密顿量 $H_{lr}$ 的谱和本征态映射到其母哈密顿量 $\mathcal{H}^{l+r=n}$ 的谱和本征态，揭示谱拓扑结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在非厄米系统中实现阶次不随系统尺寸增长的任意阶本征点？
• RQ2 广义手征对称性如何在有限尺寸系统中保护固定阶次的 EPs？
• RQ3 在广义 Hatano-Nelson 模型中，高阶 EPs 对应的本征态的空间局域化模式如何？
• RQ4 EPs 对通用跃迁扰动和特定亚晶格上位置无序的鲁棒性程度如何？
• RQ5 在具有长程跃迁的系统中，非厄米皮肤效应如何与高阶 EPs 共存？

主要发现

• 广义 Hatano-Nelson 模型支持任意阶次 $m$ 的本征点，其中 $m$ 与系统尺寸 $N$ 无关，通过调节 $l$ 和 $r$ 且满足 $\gcd(l,r) = 1$ 实现。
• 由于广义手征对称性，EPs 出现在复能级平面旋转对称中心，该对称性使特定系统尺寸下的 EPs 存在性得以稳定。
• 与 EPs 相关的本征态局域在对应特定亚晶格的格点子集上，且该局域性对跃迁强度变化具有鲁棒性。
• 在通用跃迁扰动下，非厄米皮肤效应依然存在，当调节跃迁不对称性时，EP 的本征态与谱其余部分的本征态分别局域在链的两端。
• 当在承载广义特征向量的亚晶格上施加位置无序时，EPs 保持稳定或仅阶次降低，表明其通过空间结构实现拓扑保护。
• 该模型可在光子环系统、拓扑电网络和合成频率维度中实现，支持对鲁棒高阶 EPs 的直接观测。