[论文解读] Exceptional Zeros of $L$-series and Bernoulli-Carlitz Numbers

Bruno Anglès, Tuân Ngô Dac+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2015

Advanced Mathematical Identities参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文证明了关于正特征下伯努利-卡尔茨数模素数非零的猜想，建立了这些数与某些L-级数的异常零点之间的深刻联系。通过组合技巧和安德森孤子的性质，作者证明了模素数$P$下伯努利-卡尔茨数$BC_{q^d - N}$的非零性，等价于一个$K$-线性自同态的行列式非零，该自同态编码了$L$-级数$L_N(t)$的异常零点，从而解决了函数域算术中的一个关键问题。

ABSTRACT

Bernoulli-Carlitz numbers were introduced by L. Carlitz in 1935, they are the analogues in positive characteristic of Bernoulli numbers. We prove a conjecture formulated by F. Pellarin and the first author on the non-vanishing modulo a given prime of families of Bernoulli-Carlitz numbers. We then show that the "exceptional zeros" of certain $L$-series are intimately connected to the Bernoulli-Carlitz numbers.

研究动机与目标

• 解决F. 佩拉林和B. 安格莱斯关于正特征下伯努利-卡尔茨数族模素数非零的猜想。
• 建立某些$L$-级数$L_N(t)$的异常零点与伯努利-卡尔茨数算术性质之间的精确联系。
• 通过作用在空间$H(\varphi^{(N)})$上的$K$-线性自同态$\varphi_t^{(N)}$的特征值，提供非零性结果的新证明。
• 为涉及$A = \mathbb{F}_q[\theta]$中多项式导数的欧拉型和，发展一种数位原理，推广正特征下有限多重zeta值的结果。

提出的方法

• 通过$p$-进赋值估计和$L$-级数$L_N(t)$中系数次数的组合界，证明定理1.1，依赖于数位和$\ell_q(N)$以及卡尔茨阶乘$\Pi(n)$。
• 通过安德森-塔库尔函数$\omega(t)$和卡尔茨周期$e_\pi$构造双变量多项式$B_N(t, \theta)$，证明其满足关键函数恒等式，如$B_N(t^p, \theta^p) = B_N(t, \theta)^p$。
• 利用$L_N(t)$的异常零点是$K$-线性自同态$\varphi_t^{(N)}$在有限维$K$-向量空间$H(\varphi^{(N)})$上的特征值这一事实，并将行列式$\det(\theta^{q^d}I_d - \varphi_t^{(N)}|_{H(\varphi^{(N)})})$与伯努利-卡尔茨数联系起来。
• 在附录中应用数位原理，将导数和$\delta_N = \sum_{k \geq 1} \sum_{a \in A_{+,k}} \frac{a'^N}{a}$表示为$\delta_{q^k}$、$\Pi(N)$和$\beta_N$的乘积，从而将其与$B_N(\theta, \theta)$联系起来。
• 使用非阿基米德魏尔斯特拉斯准备定理，证明$F(t)/\omega(t) \in \mathbb{F}_q[t]$，这对证明恒等式$\omega(t) = \exp_C(e_\pi / (\theta - t))$至关重要。
• 利用恒等式$\operatorname{Res}_{t=\theta^{q^j}} \left( \frac{L(t)}{t - \theta^{q^j}} \right) = \delta_{q^j}$和推论A.3，显式计算出$\delta_{q^j} = \Pi(q^j)/[j] \cdot e_\pi^{1 - q^j}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$q^d > N$且$d \geq \frac{\ell_q(N) - 1}{q - 1} N$时，伯努利-卡尔茨数$BC_{q^d - N}$模首一不可约多项式$P$（次数为$d$）是否为零？
• RQ2 在算术上，$L$-级数$L_N(t)$的异常零点与伯努利-卡尔茨数之间存在何种精确关系？
• RQ3 和$\delta_N = \sum_{k \geq 1} \sum_{a \in A_{+,k}} \frac{a'^N}{a}$能否用已知的特殊值如$\delta_{q^k}$和$\Pi(N)$表示？
• RQ4 作用在$H(\varphi^{(N)})$上的$K$-线性自同态$\varphi_t^{(N)}$的特征值如何编码$L_N(t)$的异常零点？
• RQ5 是否存在一种基于数位的原理，控制导数和$\delta_N$的结构，类似于经典多重zeta值理论？

主要发现

• 定理1.1得证：若$N \geq 2$，$N \equiv 1 \pmod{q - 1}$，且$d \geq \frac{\ell_q(N) - 1}{q - 1} N$，则对任意首一不可约多项式$P$（次数为$d$）且满足$q^d > N$，有$BC_{q^d - N} \not\equiv 0 \pmod{P}$。
• $L_N(t)$的异常零点恰好是$K$-线性自同态$\varphi_t^{(N)}$在$H(\varphi^{(N)})$上的特征值，且它们是单重的，当$q = p$时，位于$\mathbb{F}_p((1/\theta))$中。
• 当$q = p$时，行列式$\det_K(\theta^{q^d}I_d - \varphi_t^{(N)}|_{H(\varphi^{(N)})})$等于$\frac{(-1)^{\ell_p(N) - p}}{p - 1} \cdot \frac{\Pi(N) \Pi(q^d - N)}{\prod_{l=0}^{k} \prod_{n=0, n \neq l}^{d-1} (\theta^{p^l} - \theta^{p^n})^{n_l}} \cdot BC_{q^d - N}$。
• 和$\delta_N = \sum_{k \geq 1} \sum_{a \in A_{+,k}} \frac{a'^N}{a}$被证明等于$\frac{\beta_N \Pi(N)}{\Pi([N/q])^q} \prod_{k=1}^r \left( \frac{\delta_{q^k}}{e_\pi} \right)^{n_k}$，其中$\beta_N = (-1)^{\frac{\ell_q(N) - 1}{q - 1}} B_N(\theta, \theta)$。
• 多项式$B_N(t, \theta)$是$\theta$的首一多项式，次数为$\frac{\ell_q(N) - q}{q - 1}$，其根即为$L_N(t)$的异常零点。
• 当$\ell_q(N) = 3q - 2$时，$B_N(\theta, t)$的判别式非零，证明了$B_N(\theta, t)$仅有单重根，从而确认了该情况下异常零点的单重性。