[论文解读] Excision in Hochschild and cyclic homology without continuous linear sections

Ralf Meyer|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文在不依赖连续线性截面的条件下，建立了连续Hochschild同调与循环同调的消去定理，并将其应用于计算光滑流形闭子集上Whitney函数代数的同调。通过在精确对称单一半群范畴中推广纯性与H-酉性，作者证明了核H-酉Fréchet代数的消去性，从而实现了对光滑函数代数与Whitney函数代数在闭子集上的周期循环同调的计算。

ABSTRACT

We prove that continuous Hochschild and cyclic homology satisfy excision for extensions of nuclear H-unital Frechet algebras and use this to compute them for the algebra of Whitney functions on an arbitrary closed subset of a smooth manifold. Using a similar excision result for periodic cyclic homology, we also compute the periodic cyclic homology of algebras of smooth functions and Whitney functions on closed subsets of smooth manifolds.

研究动机与目标

• 在不需连续线性截面的条件下，形式化并证明连续Hochschild同调的一般消去定理。
• 将消去定理的适用范围扩展至Fréchet代数，特别是光滑流形闭子集上的Whitney函数代数。
• 计算光滑函数与Whitney函数代数在光滑流形闭子集上的连续Hochschild、循环与周期循环同调。
• 通过引入范畴论与同调代数工具，克服Brasselet与Pflaum先前工作中对闭子集奇点的限制性假设所导致的技术障碍。
• 通过范畴化与同调工具推广Wodzicki的消去定理，适用于对称单一半群范畴中的精确范畴。

提出的方法

• 在抽象精确对称单一半群范畴中形式化纯性与H-酉性，以将消去定理推广至经典设定之外的范畴。
• 将广义消去定理应用于具有核H-酉且商为核的Fréchet代数扩张，例如在闭子集上无限阶消失的函数理想。
• 利用Fréchet空间上的完全项目拓扑张量积，验证核商可诱导纯扩张。
• 将消去结果应用于扩张 $ \mathcal{J}^\infty(X;Y) \rightarrowtail \mathrm{C}^\infty(X) \twoheadrightarrow \mathcal{E}^\infty(Y) $，其中 $ \mathcal{E}^\infty(Y) $ 是闭子集 $ Y \subset X $ 上的Whitney函数代数。
• 应用Goodwillie对拟幂零代数的定理，证明核 $ N = \mathrm{C}^\infty_0(Y;X)/\mathcal{J}^\infty(X;Y) $ 的周期循环同调是同伦收缩的。
• 在ind-代数范畴中利用ind-局部分裂扩张，证明周期循环同调的纤维列，从而实现对具有紧支集的光滑函数代数的同调计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于缺乏连续线性截面的Fréchet代数扩张，能否在Hochschild同调中建立消去性？
• RQ2 光滑流形闭子集上Whitney函数代数的周期循环同调是否满足消去性，而无需依赖投影解析或限制性几何假设？
• RQ3 能否将消去定理推广至抽象精确对称单一半群范畴，以涵盖如Fréchet代数等拓扑代数？
• RQ4 在适当条件下，闭子集上Whitney函数代数的周期循环同调是否同构于同一子集上光滑函数代数的周期循环同调？
• RQ5 在何种条件下，核理想在周期循环同调下为同伦收缩，从而在周期循环设定中实现消去性？

主要发现

• 闭子集 $ Y \subset X $ 上Whitney函数代数的连续Hochschild同调同构于 $ Y $ 上微分形式的空间，推广了经典的de Rham同构。
• $ \mathcal{E}^\infty(Y) $ 的连续周期循环同调同构于 $ Y $ 的周期de Rham上同调，即 $ \operatorname{HP}_n(\mathcal{E}^\infty(Y)) \cong \bigoplus_{k\in\mathbb{Z}} \mathrm{H}_{\mathrm{dR}}^{n-2k}(Y) $，即使 $ Y $ 具有奇点亦成立。
• 核 $ N = \mathrm{C}^\infty_0(Y;X)/\mathcal{J}^\infty(X;Y) $ 是拓扑幂零的，因此其周期循环同调是同伦收缩的，从而在长正合列中实现消去性。
• 对于具有紧支集的闭子集 $ Y $ 上的光滑函数代数，通过ind-局部分裂扩张实现消去性，从而在周期循环同调中诱导出纤维列。
• 该消去定理适用于所有核H-酉Fréchet代数，无需连续线性截面，推广了Brasselet与Pflaum的先前结果。
• 该方法避免了显式双模解析，并为Whitney函数同调计算提供了更短、更一般的证明，相较于早期方法更具优势。