[论文解读] Excision of Skein Categories and Factorisation Homology

Juliet Cooke|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2019

Algebraic structures and combinatorial models被引用 5

一句话总结

本文证明了 skein 范畴满足切除性，从而确立其为曲面的 k-线性因子化同调。此外，本文还表明，skein 范畴的自由共完备化恢复了局部有限表示的因子化同调，且带有通用量子群参数的穿孔曲面的 skein 代数提供了特征簇的形变量子化。

ABSTRACT

We prove that the skein categories of Walker--Johnson-Freyd satisfy excision. This allows us to conclude that skein categories are $k$-linear factorisation homology and taking the free cocompletion of skein categories recovers locally finitely presentable factorisation homology. An application of this is that the skein algebra of a punctured surface related to any quantum group with generic parameter gives a quantisation of the associated character variety.

研究动机与目标

• 确立 skein 范畴满足切除性，这是同调理论的基础性质。
• 证明 skein 范畴与定向曲面的 k-线性因子化同调等价。
• 表明 skein 范畴的自由共完备化可恢复为局部有限表示的因子化同调。
• 证明带有通用量子群参数的穿孔曲面的 skein 代数是特征簇的形变量子化。

提出的方法

• 使用 Tambara 的 k-线性范畴的相对张量积来定义 skein 范畴中的切除结构。
• 通过切除性和普遍性质对因子化同调的刻画，将其与 skein 范畴进行比较。
• 建立 Tambara 的相对张量积与 Cat×k 中基于上确界的相对张量积之间的等价性。
• 利用自由和柯西共完备化，将 skein 范畴与局部有限表示范畴联系起来。
• 使用范畴论中的分布函子范畴与紧致投影对象，识别 skein 范畴的柯西共完备化。
• 应用 Ben-Zvi、Brochier 和 Jordan 关于带有量子群系数的穿孔曲面因子化同调的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 skein 范畴是否在拓扑场论的意义下满足切除性？
• RQ2 skein 范畴与曲面的 k-线性因子化同调之间是否存在等价关系？
• RQ3 skein 范畴的自由共完备化能否被识别为局部有限表示的因子化同调？
• RQ4 带有通用量子群参数的穿孔曲面的 skein 代数是否提供特征簇的形变量子化？

主要发现

• skein 范畴在 Tambara 相对张量积下满足切除性，证实了 Johnson-Freyd 的一个猜想。
• 对于任意定向曲面 Σ，skein 范畴 SkV(Σ) 与 k-线性因子化同调 ZCat×k(Σ) 之间存在自然等价。
• skein 范畴 SkA(Σ) 的自由共完备化与 ribbon 范畴 A 的自由完备化的 LFPk 因子化同调 ZLFPk(Σ) 等价。
• skein 范畴的柯西共完备化与 LFPk 因子化同调中紧致投影对象的全子范畴等价。
• 穿孔曲面的 skein 代数 SkAlgRepfdq(G)(Σ) 同构于 LFPk 因子化同调 ZLFPk(Σ)Repq(G) 的不变量代数，证明其为特征簇 ChG(Σ) 的形变量子化。
• 当通用 q ∈ ℂ× 不是单位根时，skein 代数 SkAlgRepfdq(G)(Σ) 是特征簇 ChG(Σ) 的形变量子化，符合量子特征簇理论的要求。