[论文解读] Exclusion sets in eigenvalue inclusion sets for tensors

Chaoqian Li, Suhua Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2017

Tensor decomposition and applications参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文通过从 Geršgorin 集 Γ(𝒜) 和 Brauer 型集 𝒦(𝒜) 中分别排除不包含任何特征值的子集，提出了两个新的特征值包含集 Ω(𝒜) 和 Θ(𝒜)。主要贡献在于 Ω(𝒜) ⊆ Γ(𝒜) 且 Θ(𝒜) ⊆ 𝒦(𝒜)，利用基于特征向量的排除准则，为张量特征值提供了更紧的界。

ABSTRACT

By excluding some sets, which don't include any eigenvalue of a tensor, from some existing eigenvalue inclusion sets, two new sets are given to locate all eigenvalues of a tensor. And it is shown that these two sets are contained in the Geršgorin eigenvalue inclusion set of tensors provide by Qi (Journal of Symbolic Computation 2005; 40:1302-1324) and the Brauer-type eigenvalue inclusion set provide by Li et al. (Numer. Linear Algebra Appl. 2014; 21:39-50) respectively. Two sufficient conditions such that the determinant of a tensor is not zero are also provided.

研究动机与目标

• 通过识别并排除不包含任何特征值的区域，改进现有张量特征值包含集。
• 通过移除不包含张量任何特征值的子集，对 Geršgorin 集 Γ(𝒜) 和 Brauer 型集 𝒦(𝒜) 进行细化。
• 提出新的、更紧致的特征值包含集 Ω(𝒜) 和 Θ(𝒜)，其严格包含于 Γ(𝒜) 和 𝒦(𝒜) 之内。
• 基于排除无特征值区域，提供张量行列式非零的充分条件。
• 通过基于特征向量模长和分量分析的方法，将特征值定位技术的适用范围扩展至高阶张量。

提出的方法

• 定义排除集 Δᵢ(𝒜) 和 Λᵢ(𝒜)，分别从 Geršgorin 集和 Brauer 型集中移除无特征值区域。
• 利用特征向量最大模长分量及其对应的张量方程，推导特征值位置的界。
• 通过排除 Δᵢ(𝒜)（一个涉及 |xₚ| 和 |xₜ| 的不等式定义的区域）构造 Ωᵢ(𝒜) = Γᵢ(𝒜) \ Δᵢ(𝒜)，以改进 Geršgorin 圆盘。
• 通过移除 Λᵢ(𝒜)（一个由涉及 |λ - aᵢᵢ|、|λ - aₚₚ| 及系数 aᵢₚ…ₚ 的不等式定义的集合的并集）构造 Θᵢⱼ(𝒜) = 𝒦ᵢⱼ(𝒜) \ Λᵢ(𝒜)。
• 利用三角不等式和特征向量分量的逐分量有界性，推导排除条件，以消除特征值不可能存在的区域。
• 通过分析特征向量分量及其模长比较，建立 inclusion 关系 Ω(𝒜) ⊆ Γ(𝒜) 和 Θ(𝒜) ⊆ 𝒦(𝒜)。

实验结果

研究问题

• RQ1 Geršgorin 集 Γ(𝒜) 的哪些子集不包含张量的任何特征值，以及如何系统性地排除它们？
• RQ2 能否基于特征向量结构，通过移除无特征值区域来收紧 Brauer 型特征值包含集 𝒦(𝒜)？
• RQ3 张量元素的何种条件可确保 Γ(𝒜) 或 𝒦(𝒜) 中的某些区域被保证不包含任何特征值？
• RQ4 此类区域的排除如何导致张量非奇异性的改进行列式判别准则？
• RQ5 新集合 Ω(𝒜) 和 Θ(𝒜) 在特征值定位精度方面，相较于现有包含集在多大程度上得到改进？

主要发现

• 集合 Ω(𝒜) 通过从每个 Geršgorin 圆盘 Γᵢ(𝒜) 中排除 Δᵢ(𝒜) 构造而成，结果满足 Ω(𝒜) ⊆ Γ(𝒜)，且严格排除了不可能包含特征值的区域。
• 集合 Θ(𝒜) 通过从 Brauer 型集 𝒦(𝒜) 中移除 Λᵢ(𝒜) 构造而成，结果满足 Θ(𝒜) ⊆ 𝒦(𝒜)，并提供了比 𝒦(𝒜) 更紧致的包含区域。
• 对于张量的任意特征值 λ，均有 λ ∉ Λᵢ(𝒜) 对所有 i 成立，这意味着集合 Λᵢ(𝒜) 是 Brauer 型包含集的有效排除集。
• 排除集 Δᵢ(𝒜) 和 Λᵢ(𝒜) 基于特征向量分量分析及涉及 |xₜ| 和 |xₚ| 的不等式推导，确保其不包含任何特征值。
• 推论 3 基于涉及 |aᵢᵢ|、rᵢ(𝒜) 和非对角线元素的系数不等式，提供了两个 det(𝒜) ≠ 0 的充分条件。
• 新集合 Ω(𝒜) 和 Θ(𝒜) 分别严格包含于 Γ(𝒜) 和 𝒦(𝒜) 内，且彼此之间不一定相互包含，表明其改进具有互补性。