[论文解读] Excursion reflected Brownian motion and loewner equations in multiply connected domains

Shawn Drenning|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文利用共形不变性，提出了一种在有限连通区域中构造出绕行反射布朗运动（ERBM）的新方法，建立了ERBM的泊松核与格林函数之间的联系。研究推导出某些多连通区域中简单曲线的Loewner方程，将ERBM定位为研究此类设定下SLE的工具。

ABSTRACT

Excursion reflected Brownian motion (ERBM) is a strong Markov process defined in a finitely connected domain $D \subset \C$ that behaves like a Brownian motion away from the boundary of $D$ and picks a point according to harmonic measure from infinity to reflect from every time it hits a boundary component. We give a new construction of ERBM using its conformal invariance and discuss the relationship between the Poisson kernel and Green's function for ERBM and conformal maps into certain classes of finitely connected domains. One important reason for studying ERBM is the hope that it will be a useful tool in the study of SLE in finitely connected domains. To this end, we show how the Poisson kernel for ERBM can be used to derive a Loewner equation for simple curves growing in a certain class of finitely connected domains.

研究动机与目标

• 通过共形不变性，发展一种在有限连通区域中构造绕行反射布朗运动（ERBM）的新方法。
• 探讨在有限连通区域类中，ERBM的泊松核与格林函数之间的关系。
• 建立ERBM与在多连通区域中生长曲线的Loewner方程之间的联系。
• 为在有限连通区域中应用ERBM研究施朗姆-洛埃夫勒演化（SLE）奠定基础。

提出的方法

• 利用共形不变性，将ERBM在有限连通区域中构造为强马尔可夫过程。
• 将ERBM定义为在内部表现如布朗运动，并根据无穷远处的调和测度从边界分量反射的随机过程。
• 建立ERBM的泊松核与特定类有限连通区域的共形映射之间的对应关系。
• 利用ERBM的泊松核，推导出某些有限连通区域中简单曲线生长的Loewner方程。
• 应用ERBM的共形不变性，将其概率结构与格林函数的解析性质联系起来。
• 利用调和测度与共形映射的结构，将Loewner型方程推广至多连通情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用共形不变性在有限连通区域中构造绕行反射布朗运动？
• RQ2 在多连通区域中，ERBM的泊松核与格林函数之间存在何种精确关系？
• RQ3 能否利用ERBM的泊松核推导出有限连通区域中生长曲线的Loewner方程？
• RQ4 ERBM如何作为研究多连通区域中SLE的随机工具？
• RQ5 哪些类别的有限连通区域能够导出由ERBM产生的有意义的Loewner方程？

主要发现

• 通过共形不变性，成功实现了一种绕行反射布朗运动（ERBM）的新构造，为在有限连通区域中严格定义ERBM提供了框架。
• 研究表明，ERBM的泊松核与特定类有限连通区域的共形映射密切相关。
• 利用ERBM的泊松核，推导出某些有限连通区域中简单曲线生长的Loewner方程。
• 在共形不变性的背景下，建立了ERBM的格林函数与泊松核之间的关系。
• 研究结果为通过ERBM将SLE理论推广至多连通区域提供了概率基础。
• 该框架使得能够利用随机过程与共形几何研究具有多个边界分量的区域中的曲线生长动力学。