[论文解读] Excursions on Cantor-like Sets

Roberto DiMartino, Wilfredo Urbina|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文探讨了超越经典三进制康托集的广义康托集，分析其拓扑性质、测度性质和分形性质。文中引入了可变移除比例的构造方法（例如 $ C_\nu $），证明此类集合可以是完备的、处处无处稠密的、不可数的，且具有正勒贝格测度，并通过缩放论证计算其豪斯多夫维数，应用包括利用胖康托集构造黎曼可积性的反例。

ABSTRACT

The ternary Cantor set $C$, constructed by George Cantor in 1883, is probably the best known example of a perfect nowhere-dense set in the real line, but as we will see later, it is not the only one. The present article we will explore the richness, the peculiarities and the generalities that has $C$ and explore some variants and generalizations of it. For a more systematic treatment the Cantor like sets we refer to our previous paper.

研究动机与目标

• 通过在每一步改变移除区间的比例，推广经典的康托三进制集。
• 分析这些广义集合的拓扑性质（完备、处处无处稠密）和测度性质（正测度）。
• 通过缩放和自相似性计算非对称及对称康托类集合的豪斯多夫维数。
• 展示胖康托集在构造黎曼可积函数极限不为黎曼可积的反例中的实用性。
• 为康托类集合提供系统性基础，参考文献 [7] 以深入探讨。

提出的方法

• 通过在第 $ n $ 步从每个子区间的中心移除长度为 $ \lambda / 3^n $ 的开区间，构造广义康托集 $ C_\nu $，保持自相似性。
• 使用三进制展开表征：$ C = \{ x \in [0,1] \mid \varepsilon_k(x) \in \{0,2\} \} $，并推广至具有受限数位模式的集合。
• 应用维数技巧：对于由 $ p $ 个缩放为 $ 1/m $ 的自相似部分构成的集合，豪斯多夫维数为 $ d = \ln p / \ln m $。
• 推导出 $ C_\lambda $ 的勒贝格测度为 $ 1 - \lambda $，表明当 $ 0 < \lambda < 1 $ 时 $ C_\lambda $ 具有正测度。
• 使用伏尔泰拉集 $ SVC(4) $ 作为测度为 $ 1/2 $ 的胖康托集，并构造一列黎曼可积函数收敛于其特征函数。
• 利用勒贝格准则：当且仅当函数的不连续点集测度为零时，函数为黎曼可积，以证明极限函数不可积。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过移除可变比例区间的康托类集合在测度和维数上与经典三进制康托集有何不同？
• RQ2 康托类集合能否同时是完备的且具有正勒贝格测度？若能，其条件为何？
• RQ3 非对称康托类集合的豪斯多夫维数是多少？其如何依赖于缩放比例和自相似部分的数量？
• RQ4 如何利用胖康托集构造一列黎曼可积函数，使其逐点极限不可积？
• RQ5 三进制展开在表征和推广康托类集合中起何作用？

主要发现

• 广义康托集 $ C_\lambda $ 的勒贝格测度为 $ 1 - \lambda $，因此当 $ 0 < \lambda < 1 $ 时具有正测度，使其成为‘胖’康托集。
• 康托集 $ C_\lambda $ 的豪斯多夫维数为 $ d = \frac{\ln 2}{\ln 6 - \ln(3 - \lambda)} $，其依赖于移除参数 $ \lambda $。
• 对于具有 $ p $ 个自相似部分、每个缩放为 $ 1/m $ 的对称康托类集合，豪斯多夫维数为 $ d = \frac{\ln p}{\ln m} $，推广了经典情形。
• 经典康托三进制集的豪斯多夫维数为 $ \frac{\ln 2}{\ln 3} \approx 0.6309 $，与通式一致。
• 黎曼可积性反例中极限函数的不连续点集为 $ SVC(4) $，一个测度为 $ 1/2 $ 的胖康托集，其具有正测度，因此违反勒贝格准则。
• 移除区间特征函数序列 $ f_n $ 逐点收敛且在 $ L^1 $ 中收敛于胖康托集的特征函数，但极限函数不可积。