[论文解读] Exhausting families of representations and spectra of pseudodifferential operators

Victor Nistor, Nicolas Prudhon|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用 15

一句话总结

本文引入了C*-代数的“耗尽表示族”概念，证明此类族可通过表示的谱的并集表征可逆性与谱。关键贡献在于：C*-代数中的元素可逆当且仅当其在族中每个表示下的像均可逆，从而推广了在角流形和群胚代数上伪微分算子的谱理论与弗雷德霍姆理论。

ABSTRACT

Families of representations of suitable Banach algebras provide a powerful tool in the study of the spectral theory of (pseudo)differential operators and of their Fredholmness. We introduce the new concept of an exhausting family of representations of a C*-algebra A. An {\em exhausting family} of representations of a C*-algebra A is a set F of representations of A with the property that every irreducible representation of A is weakly contained in some ϕ\in F. An exhausting family F of representations of A has the property that `"a \in A is invertible if, and if, ϕ(a) is invertible for any ϕ\in F." Consequently, the spectrum of a is given by \Spec(a) = \cup_{ϕ\in F} \Spec(ϕ(a)). In other words, every exhausting family of representations is invertibility sufficient, a concept introduced by Roch in 2003. We prove several properties of exhausting families and we provide necessary and sufficient conditions for a family of representations to be exhausting. Using results of Ionescu and Williams (2009), we show that the regular representations of amenable, second countable, locally compact groupoids with a Haar system form an exhausting family of representations. If $A$ is a separable C*-algebra, we show that a family F of representations of $A$ is exhausting if, and only if, it is invertibility sufficient. However, this result is not true, in general, for non-separable C*-algebras. With an eye towards applications, we extend our results to the case of unbounded operators. A typical application of our results is to parametric families of differential operators arising in the analysis on manifolds with corners, in which case we recover the fact that a parametric operator F is invertible if, and only if, its Mellin transform is invertible. In view of possible applications, we have tried to make this paper accessible to non-specialists in C*-algebras.

研究动机与目标

• 开发一种表示理论框架，用于分析伪微分算子的谱性质与弗雷德霍姆性质。
• 澄清何时算子的本质谱等于其关联表示谱的并集的闭包，解决关于闭包是否必要的模糊性。
• 建立一族表示为“耗尽”的条件，即其在弱闭包中捕获所有不可约表示并决定可逆性。
• 将理论扩展至无界算子与参数族，特别是在角流形的背景下。
• 推广罗奇的“可逆性充分”族概念，并在可分情形下证明其与耗尽族的等价性。

提出的方法

• 引入“耗尽表示族”的概念：即C*-代数A的一组*-表示，使得每个不可约表示弱包含于族中的某个成员中。
• 证明耗尽族具有可逆性充分性：a ∈ A 可逆当且仅当对族中所有φ，φ(a)均可逆。
• 建立A中元素a的谱等于其在耗尽族中所有表示下的像的谱的并集：Spec(a) = ∪φ∈F Spec(φ(a))。
• 利用Ionescu与Williams的结果，证明具有哈尔测度的可约、第二可数、局部紧群胚的正规表示构成耗尽族。
• 通过引入“抽象关联算子”的概念，将框架扩展至无界算子，并将其应用于参数伪微分算子。
• 将理论应用于角流形上参数族P(λ)，证明P可逆当且仅当对所有λ ∈ ℝⁿ，其梅林变换P̂(λ)均可逆。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时伪微分算子的本质谱等于其关联表示谱的并集的闭包？何时闭包是冗余的？
• RQ2 何种条件可确保C*-代数的一族表示为“耗尽”——即其在弱闭包中捕获所有不可约表示并决定可逆性？
• RQ3 在何种条件下，“耗尽族”与“可逆性充分族”等价？该等价性在非可分C*-代数中是否成立？
• RQ4 如何将耗尽族理论扩展至无界算子与微分算子的参数族？
• RQ5 能否通过梅林变换与表示理论表征角流形上伪微分算子的谱性质与弗雷德霍姆性质？

主要发现

• C*-代数A的耗尽表示族确保a ∈ A可逆当且仅当对族中所有φ，φ(a)均可逆。
• C*-代数A中元素a的谱由其在耗尽族中所有表示下的像的谱的并集给出：Spec(a) = ∪φ∈F Spec(φ(a))。
• 在可分C*-代数中，一族表示为耗尽当且仅当其为可逆性充分；该等价性在一般非可分C*-代数中不成立。
• 具有哈尔测度的可约、第二可数、局部紧群胚的正规表示构成耗尽表示族。
• 对于角流形上参数伪微分算子P，P可逆当且仅当对所有λ ∈ ℝⁿ，其梅林变换P̂(λ)均可逆。
• 对于在M × ℝⁿ上阶数m > 0的 formally self-adjoint椭圆算子T，T的谱等于其梅林变换谱的并集：Spec(T) = ∪λ∈ℝⁿ Spec(̂T(λ))。