[论文解读] Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane

Michaël Rao|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2017

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 3被引用 30

一句话总结

本文通过在371种可能的角度条件族上使用系统化的回溯算法，对所有可镶嵌欧几里得平面的凸五边形进行了完整枚举。结果明确证明，仅存在15种已知的凸五边形密铺族，且不存在仅能以非周期方式密铺的凸多边形。

ABSTRACT

We present an exhaustive search of all families of convex pentagons which tile the plane. This research shows that there are no more than the already 15 known families. In particular, this implies that there is no convex polygon which allows only non-periodic tilings.

研究动机与目标

• 确定是否存在某种凸五边形可密铺平面但仅以非周期方式。
• 对所有可镶嵌欧几里得平面的凸五边形族进行全面分类。
• 解决长期悬而未决的问题：是否存在超过已知的15种五边形密铺族。
• 确立除已知的15种凸五边形族外，不存在其他凸多边形可密铺平面。
• 证明所有凸五边形的密铺必须包含正密度的顶点类型，从而支持算法化枚举。

提出的方法

• 本研究通过修正的向量类型（Vc(s)）定义顶点类型，满足 Vc(s) · α = 2，以确保几何一致性。
• 证明在任何密铺中，仅存在有限组顶点类型集合具有正密度，从而限制了搜索空间。
• 使用回溯算法对371种角度条件族中的每一种可能密铺进行探索。
• 通过复数恒等式检验几何可实现性：∑ℓi·exp(s(α)i·π·i) = 0，其中 s(α)i = (i−1)−∑j<i αj。
• 通过在有理多面体上对正弦和余弦边界进行代数检查，识别并剔除24种退化情形。
• 通过合并相同顶点并使用密铺图的紧凑表示，优化了搜索过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在某种凸五边形可密铺平面但仅以非周期方式？
• RQ2 有多少种不同的凸五边形族可密铺欧几里得平面？
• RQ3 能否对所有此类密铺五边形进行全面枚举？
• RQ4 是否存在超越已知15种的新型凸五边形密铺族？
• RQ5 凸五边形可密铺平面所需的角度与边长的必要且充分条件是什么？

主要发现

• 全面搜索确认仅存在15种已知的凸五边形族可密铺平面。
• 在已知的15种族之外未发现新的凸五边形密铺族。
• 所有24种退化类型（20–24）均被证明无法满足几何可实现性条件 ∑ℓi·exp(s(α)i·π·i) = 0。
• 类型16–19为已知15族的特例，而非全新的独立族。
• 本研究证明，不存在仅能以非周期方式密铺的凸多边形，因为所有此类密铺必须包含正密度的顶点类型。
• 该算法在检查完全部371种角度条件族后成功终止，确认了结果的完备性。