[论文解读] Existence and approximation of fixed points of vicinal mappings in geodesic spaces

Fumiaki Kohsaka|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2017

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文在上界曲率为1的测地度量空间中引入了邻近映射与强邻近映射的概念，建立了在直径小于π/2的完备CAT(1)空间中不动点的存在性与收敛性定理。关键贡献在于：强邻近映射（如凸函数的预解式）可保证迭代序列Δ-收敛至极小化点，从而在非希尔伯特空间中实现新的不动点与优化结果。

ABSTRACT

We propose the concepts of vicinal mappings and firmly vicinal mappings in metric spaces. We obtain fixed point and convergence theorems for these mappings in complete geodesic spaces with curvature bounded above by one and apply our results to convex optimization in such spaces.

研究动机与目标

• 在上界曲率为1的度量空间中定义并研究邻近映射与强邻近映射。
• 在直径小于π/2的完备CAT(1)空间中，建立此类映射的不动点存在性定理。
• 证明由强邻近映射生成的迭代序列的Δ-收敛性。
• 通过证明凸函数的预解式为强邻近映射，将结果应用于凸优化，从而保证其收敛至极小化点。
• 将不动点与优化理论从哈达姆空间（CAT(0)）推广至有界直径的CAT(1)空间。

提出的方法

• 在任意两点间距离≤π/2的度量空间中提出邻近映射的概念，通过涉及映射像到各点距离的余弦不等式进行定义。
• 引入强邻近映射作为更强的变体，其满足一个推广希尔伯特空间中强非扩张性的精炼不等式。
• 利用CAT(1)空间的几何结构及与单位球面的比较原理，推导不动点存在性与收敛性结果。
• 将理论应用于CAT(1)空间中凸函数的预解式，证明由 $ R_f x = \text{argmin}_y \big\bracevert f(y) + \tan d(y,x) \tan d(y,x) \big\bracevert $ 定义的预解式 $ R_f $ 为强邻近映射。
• 采用度量空间中的Δ-收敛概念，分析映射 $ T $ 下迭代 $ T^n x $ 的渐近行为。
• 将结果推广至一般 $ \text{CAT}(\theta) $ 空间（$ \theta > 0 $），通过将度量按 $ \theta $ 缩放，定义 $ \theta $-邻近与强 $ \theta $-邻近映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 在直径小于π/2的完备CAT(1)空间中，邻近映射在何种条件下具有不动点？
• RQ2 在该类空间中，是否可保证由强邻近映射生成的迭代序列的Δ-收敛性？
• RQ3 CAT(1)空间中凸函数的预解式与新定义的强邻近映射之间有何关系？
• RQ4 几何曲率上界（CAT(1)）与近似型算法的收敛行为之间存在何种关系？
• RQ5 能否在有界直径条件下，将哈达姆空间中非扩张映射的不动点理论推广至CAT(1)空间？

主要发现

• 在直径小于π/2的完备CAT(1)空间中，若存在某点 $ x $ 满足 $ \text{diam}(\text{orb}(x)) < \frac{\theta}{2} $ 且 $ \text{diam}(\text{orb}(x)) < \frac{\theta}{2} $，其中 $ \theta = \frac{\theta}{2} $，则任意邻近映射 $ T $ 均存在不动点，确保轨道具有球面对有界性。
• 对于任意在直径小于 $ \frac{\theta}{2} $ 的完备CAT(1)空间上的强邻近映射 $ T $，若轨道具有球面对有界性，则对任意 $ x \notin \text{Fix}(T) $，序列 $ \big\bracevert T^n x \big\bracevert $ 均Δ-收敛至不动点。
• 在直径小于 $ \frac{\theta}{2} $ 的完备CAT(1)空间中，若 $ f $ 为适当、下半连续的凸函数，则其预解式 $ R_f $ 为强邻近映射，因此 $ R_f $-迭代序列Δ-收敛至 $ f $ 的极小化点。
• 函数 $ f $ 的极小化点集非空，当且仅当存在 $ x \notin \text{Fix}(R_f) $，使得 $ \big\bracevert R_f^n x \big\bracevert $ 具有球面对有界性且 $ \text{diam}(\text{orb}(x)) < \frac{\theta}{2} $。
• 对于 $ \text{CAT}(\theta) $ 空间（$ \theta > 0 $），通过将度量按 $ \theta $ 缩放，将不动点与Δ-收敛结果推广至 $ \theta $-邻近与强 $ \theta $-邻近映射，得到相应的存在性与收敛性定理。
• 在上述空间中，强邻近映射的不动点集非空，当且仅当某点的轨道具有球面对有界性，且步长保持在收敛半径范围内。