[论文解读] Existence and asymptotic behaviour of solutions for a quasi-linear schrodinger-poisson system under a critical nonlinearity

Giovany M. Figueiredo, Gaetano Siciliano|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文通过变分法与集中紧致性技术，建立了 $\mathbb{R}^3$ 中具有临界非线性的拟线性薛定谔-泊松系统的解的存在性。证明了当 $\lambda > \lambda^*$ 时，对所有 $\varepsilon > 0$ 解存在，且当 $\varepsilon \to 0^+$ 时，这些解收敛于标准薛定谔-泊松系统的解，确认了在临界增长条件下具有渐近稳定性。

ABSTRACT

In this paper we consider the following quasilinear Schrödinger-Poisson system $$ \left\{ \begin{array}[c]{ll} - Δu +u+ϕu = λf(x,u)+|u|^{2^{*}-2}u &\ \mbox{in } \mathbb{R}^{3} \\ -Δϕ-\varepsilon^{4} Δ_4 ϕ= u^{2} & \ \mbox{in } \mathbb{R}^{3}, \end{array} ight. $$ depending on the two parameters $λ,\varepsilon>0$. We first prove that, for $λ$ larger then a certain $λ^{*}>0$, there exists a solution for every $\varepsilon>0$. Later, we study the asymptotic behaviour of these solutions whenever $\varepsilon$ tends to zero, and we prove that they converge to the solution of the Schrödinger-Poisson system associated.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{R}^3$ 中，针对由 $4$-拉普拉斯项控制的非局部静电势，建立具有临界增长的拟线性薛定谔-泊松系统的非平凡解的存在性。
• 分析当参数 $\varepsilon \to 0^+$ 时解的渐近行为，对应于系统退化到经典薛定谔-泊松系统的极限情形。
• 证明解在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 和相应的势能空间 $D^{1,2}(\mathbb{R}^3)$ 中强收敛，且势能项 $\varepsilon \phi_\varepsilon$ 在 $D^{1,4}(\mathbb{R}^3)$ 中趋于零。

提出的方法

• 采用变分法寻找与系统相关的能量泛函的临界点，利用山路定理与集中紧致性原理。
• 通过将四阶拉普拉斯方程 $-\Delta\phi - \varepsilon^4\Delta_4\phi = u^2$ 的解 $\phi_\varepsilon(u)$ 代入薛定谔方程，对系统进行重构。
• 对非线性项 $f(x,u)$ 与临界项 $|u|^{2^*-2}u$ 应用截断技术，使得可在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中使用紧致性论证。
• 通过证明 $\phi_\varepsilon(u_\varepsilon)$ 在 $D^{1,2}(\mathbb{R}^3)$ 中强收敛，且 $\varepsilon\phi_\varepsilon(u_\varepsilon) \to 0$ 在 $D^{1,4}(\mathbb{R}^3)$ 中，分析当 $\varepsilon \to 0^+$ 时解的收敛性。
• 基于四阶拉普拉斯方程解的正性，通过基于逐次提升的论证方法，建立解的先验 $L^\infty$ 估计。
• 证明依赖于 $H^1$ 中的弱收敛、$L^p$ 中的强收敛（$p \in [2,6)$），以及使用具有紧支集的测试函数在弱形式中取极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $\lambda > 0$ 值，拟线性薛定谔-泊松系统对所有 $\varepsilon > 0$ 存在非平凡解？
• RQ2 当 $\varepsilon \to 0^+$ 时，解的渐近行为如何？它们是否收敛于经典薛定谔-泊松系统的解？
• RQ3 在临界增长情形下，与系统相关的能量泛函是否满足 Palais-Smale 条件，从而支持变分法的应用？

主要发现

• 对每个 $\lambda > \lambda^*$，存在非平凡解 $u_{\lambda,\varepsilon}$ 对所有 $\varepsilon > 0$，该结果通过山路定理建立。
• 当 $\varepsilon \to 0^+$ 时，解 $u_{\lambda,\varepsilon}$ 在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中强收敛于经典薛定谔-泊松系统的解 $u_{\lambda,0}$。
• 势能 $\phi_\varepsilon(u_{\lambda,\varepsilon})$ 在 $D^{1,2}(\mathbb{R}^3)$ 中收敛于 $\phi_0(u_{\lambda,0})$，而 $\varepsilon\phi_\varepsilon(u_{\lambda,\varepsilon}) \to 0$ 在 $D^{1,4}(\mathbb{R}^3)$ 中，确认极限系统定义良好。
• 山路能量水平 $c_{\lambda,\varepsilon}$ 随 $\varepsilon \to 0^+$ 收敛于 $c_{\lambda,0}$，表明临界水平在摄动下具有稳定性。
• 在超临界情形（$p > 2^*$）下，对解建立了统一的 $L^\infty$ 估计，确保当 $\lambda$ 足够大时，解收敛于原系统的解。
• 证明了解 $u_{\lambda,\varepsilon}$ 为正且关于 $\varepsilon$ 一致有界，其依据为四阶拉普拉斯方程 $-\Delta\phi - \varepsilon^4\Delta_4\phi = u^2$ 解的正性。