[论文解读] Existence and Blowup Behavior of Global Strong Solutions to the Two-Dimensional Baratropic Compressible Navier-Stokes System with Vacuum and Large Initial Data

Xiangdi Huang, Jing Li|arXiv (Cornell University)|May 24, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 17被引用 21

一句话总结

该论文在体积粘度为 $\lambda = \rho^\beta$ 且 $\beta > 4/3$ 的条件下，建立了二维可压缩 Navier-Stokes 方程在真空和大初值条件下的强解的全局存在性及其长时间行为，改进了以往要求 $\beta > 3$ 的结果。论文证明了密度的全局时间一致上界，并表明解随时间趋于常数状态。

ABSTRACT

For periodic initial data with initial density allowed to vanish, we establish the global existence of strong and weak solutions for the two-dimensional compressible Navier-Stokes equations with no restrictions on the size of initial data provided the bulk viscosity coefficient is $λ= ρ^β$ with $β>4/3$. These results generalize and improve the previous ones due to Vaigant-Kazhikhov([Sib. Math. J. (1995), 36(6), 1283-1316]) which requires $β>3$. Moreover, both the uniform upper bound of the density and the large-time behavior of the strong and weak solutions are also obtained.

研究动机与目标

• 建立二维等温可压缩 Navier-Stokes 系统在真空和大初值条件下的强解全局存在性。
• 将体积粘度指数 $\beta$ 的条件从 $\beta > 3$ 放松至 $\beta > 4/3$，从而改进先前结果。
• 在 $\beta > 3/2$ 且 $1 < \gamma < 3(\beta - 1)$ 的条件下，推导出解的密度的全局时间一致上界。
• 分析强解与弱解的长时间行为，证明其收敛至常数状态。
• 将全局强解理论的适用范围扩展至初始密度趋于零及初始能量较大的情形。

提出的方法

• 利用能量估计和加权 $L^p$-范数来控制真空存在时解的增长。
• 采用参数 $\delta$ 对系统进行正则化，构造近似解 $\rho^\delta, u^\delta$。
• 应用密度和压强的输运方程，推导出 $P(\rho) - \overline{P(\rho)}$ 在 $L^2$-范数下的界。
• 利用涡量 $\omega = \partial_1 u^2 - \partial_2 u^1$ 和形变张量 $G$ 来控制速度梯度。
• 通过 Gronwall 型不等式，建立 $\|P(\rho) - \overline{P}\|_{L^2}$、$\|G\|_{L^2}$ 和 $\|\omega\|_{L^2}$ 的全局时间一致有界性。
• 应用紧致性论证和弱收敛方法，令 $\delta \to 0$ 取极限，得到全局强解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\beta > 4/3$ 时，二维可压缩 Navier-Stokes 方程在真空和大初值条件下是否存在全局强解？
• RQ2 在真空和大初值条件下，密度场与速度场的长时间行为如何？
• RQ3 在 $\beta$ 条件放宽的情况下，能否为全局强解建立密度的统一上界？
• RQ4 压力涨落、涡量和形变张量的 $L^2$-范数在长时间内如何演化？
• RQ5 在给定条件下，解是否在 $t \to \infty$ 时收敛至常数平衡态？

主要发现

• 当 $\beta > 4/3$ 时，二维可压缩 Navier-Stokes 系统在真空和大初值条件下存在全局强解。
• 在 $\beta > 3/2$ 且 $1 < \gamma < 3(\beta - 1)$ 条件下，建立了密度的全局时间一致上界，且该上界与时间无关。
• 解满足 $\lim_{t \to \infty} \|\rho(\cdot,t) - \bar{\rho}_0\|_{L^p} = 0$ 对任意 $p \in [1, \infty)$ 成立，表明其收敛至初始平均密度。
• $L^2$-范数 $P(\rho) - \overline{P}$、涡量 $\omega$ 和形变张量 $G$ 均随 $t \to \infty$ 趋于零。
• 速度梯度 $\nabla u$ 满足 $\lim_{t \to \infty} \|\nabla u\|_{L^2} = 0$，表明速度梯度随时间衰减。
• 压力 $P(\rho)$ 在 $t \to \infty$ 时以 $L^2$-范数收敛至常数状态 $\rho_s^\gamma$，其中 $\rho_s$ 为平均压力的极限值。