[论文解读] Existence and computation of Riemann-Stieltjes integrals through Riemann integrals

Rodrigo López Pouso|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2011

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文建立了有界函數關於 Riemann–Stieltjes 積分存在的必要且充分條件，並透過 Riemann 積分進行計算。證明指出，若變數函數 $ G $ 是某個 Riemann 可積函數 $ g $ 的不定 Riemann 積分，則 $ f $ 關於 $ G $ Riemann–Stieltjes 可積當且僅當乘積 $ fg $ 是 Riemann 可積，此時 Riemann–Stieltjes 積分等於 $ fg $ 的 Riemann 積分。

ABSTRACT

We study the existence of Riemann-Stieltjes integrals of bounded functions against a given integrator. We are also concerned with the possibility of computing the resulting integrals by means of related Riemann integrals. In particular, we present a new generalization to the well-known formula for continuous integrands and continuously differentiable integrators.

研究动机与目标

• 建立有界函數關於給定變數函數 $ G $ 的 Riemann–Stieltjes 積分存在的必要且充分條件。
• 將古典公式 $ \int f\,dG = \int fG'\,dx $ 擴展至非連續可微的 $ G $，允許使用更一般的變數函數。
• 提供僅使用 Riemann 積分理論計算 Riemann–Stieltjes 積分的方法，避免使用 Lebesgue 積分。
• 處理被積函數 $ f $ 為有界但未必 Riemann 可積的情形，從而推廣先前結果。
• 釐清當 $ G $ 是某個 Riemann 可積函數 $ g $ 的不定積分時，Riemann–Stieltjes 積分與 Riemann 積分之間的關係。

提出的方法

• 定義變數函數 $ G(x) = c + \int_a^x g(y)\,dy $，其中 $ g $ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可積。
• 使用混合 Riemann 和估計（引理 2.1）來界定 Riemann–Stieltjes 和與 $ fg $ 的 Riemann 積分之間的差異。
• 應用 Riemann 積分的精確版均值定理（定理 1.2）來控制 $ g $ 在子區間上的震盪。
• 利用震盪界建立 Riemann–Stieltjes 和收斂性與 $ fg $ 的 Riemann 可積性之間的等價關係。
• 透過範數估計證明必要性：若 $ f $ 關於 $ G $ Riemann–Stieltjes 可積，則 $ fg $ 必須是 Riemann 可積。
• 利用 Riemann–Stieltjes 積分的分部積分公式推導對稱可積性條件（推論 3.2）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，有界函數 $ f $ 關於作為不定 Riemann 積分的變數函數 $ G $ 是 Riemann–Stieltjes 可積的？
• RQ2 當 $ G(x) = c + \int_a^x g(y)\,dy $ 時，Riemann–Stieltjes 積分 $ \int_a^b f\,dG $ 是否可計算為 Riemann 積分 $ \int_a^b fg\,dx $？
• RQ3 函數 $ f $ 關於 $ G $ 的 Riemann–Stieltjes 可積性與乘積 $ fg $ 的 Riemann 可積性之間有何關係？
• RQ4 為確保 Riemann–Stieltjes 積分可簡化為 Riemann 積分，$ G $ 和 $ f $ 的最小正則性要求為何？
• RQ5 當 $ f $ 和 $ G $ 均由 Riemann 可積密度定義時，能否推導出對稱可積性條件？

主要发现

• 有界函數 $ f $ 關於 $ G(x) = c + \int_a^x g(y)\,dy $ Riemann–Stieltjes 可積當且僅當乘積 $ fg $ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可積。
• 當條件成立時，Riemann–Stieltjes 積分滿足 $ \int_a^b f\,dG = \int_a^b fg\,dx $，從而可直接透過 Riemann 積分計算。
• 證明完全基於 Riemann 積分理論，即使 $ f $ 非 Lebesgue 可測，亦不需使用 Lebesgue 積分。
• 此結果將古典公式 $ \int f\,dG = \int fG'\,dx $ 擴展至 $ G' = g $ 僅為 Riemann 可積而非必然連續的情形。
• 透過 $ g $ 的震盪之範數估計，確立了 $ fg $ 必須 Riemann 可積的必要性，顯示若 $ fg $ 不可積，則 Riemann–Stieltjes 積分亦不可積。
• 推論 3.2 建立了對稱可積性條件：若 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 均為 Riemann 可積，且其中之一為不定 Riemann 積分，則 $ \int \alpha\,d\beta $ 和 $ \int \beta\,d\alpha $ 均存在，且等於乘積的 Riemann 積分。